Calcule um valor aproximado para cada integral usando, regra de Riemann, regra dos trapézio e regra de Simpson, todas com 2 subintervalos.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen}(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin(x)\,dx
pelas regras de Riemann (pontos à esquerda), do trapézio e de Simpson, usando n=2 subintervalos. Vamos precisar do tamanho do passo
h = \frac{b - a}{n} = \frac{\frac{\pi}{3} - 0}{2} = \frac{\pi}{6}
e dos nós
x_0 = 0,\quad x_1 = \frac{\pi}{6},\quad x_2 = \frac{\pi}{3}.

Passo 2

Calculamos os valores de \sin em cada nó:
\sin(x_0) = \sin(0) = 0,\quad \sin(x_1) = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \tfrac12,\quad \sin(x_2) = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 3

Regra de Riemann (pontos à esquerda):
\text{Riemann} = \sum_{i=0}^{1} \sin(x_i)\,h = \bigl[\sin(x_0)+\sin(x_1)\bigr]\,h = \bigl[0 + \tfrac12\bigr]\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12} \approx 0{,}262.

Passo 4

Regra do trapézio:
\text{Trapézio} = \frac{h}{2}\bigl[\sin(x_0) + 2\sin(x_1) + \sin(x_2)\bigr] = \frac{\pi/6}{2}\bigl[0 + 2\cdot\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}\bigr] = \frac{\pi}{12}\Bigl(1 + \tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) \approx 0{,}489.é

Passo 5

Regra de Simpson:
\text{Simpson} = \frac{h}{3}\bigl[\sin(x_0) + 4\sin(x_1) + \sin(x_2)\bigr] = \frac{\pi/6}{3}\Bigl[0 + 4\cdot\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr] = \frac{\pi}{18}\Bigl(2 + \tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) \approx 0{,}500.

Resposta

Riemann (esq.) \approx 0{,}262
Trapézio \approx 0{,}489
Simpson \approx 0{,}500

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