Calcule um valor aproximado para cada integral usando, regra de Riemann, regra dos trapézio e regra de Simpson, todas com 2 subintervalos.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{tg}(\mathrm{x}) \cdot \operatorname{sec} ^{2}(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\tan(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx
pelas regras de Riemann (pontos à esquerda), do trapézio e de Simpson, todas com 2 subintervalos. O conteúdo envolvido é integração numérica, em que dividimos o intervalo [0,\pi/3] em subintervalos de mesmo comprimento e aplicamos as fórmulas padrão de cada regra.

Passo 2

Vamos fazer a partição com n=2. O comprimento do intervalo é \pi/3, logo cada subintervalo tem
h = \frac{\pi/3 - 0}{2} = \frac{\pi}{6}.
Chamamos os nós de
x_{0}=0,\quad x_{1}=\frac{\pi}{6},\quad x_{2}=\frac{\pi}{3}.
Definimos a função
f(x)=\tan(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 3

Calculamos f em cada nó:
f(x_{0}) = f(0) = \tan(0)\,\operatorname{sec}^{2}(0) = 0\cdot1 = 0,
f(x_{1}) = f\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr) = \frac{1}{\sqrt{3}}\;\cdot\;\Bigl(\tfrac{1}{\cos(\pi/6)}\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\;\cdot\;\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^{2} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \approx 0{,}7698,
f(x_{2}) = f\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) = \sqrt{3}\;\cdot\;(1/\tfrac12)^{2} = \sqrt{3}\;\cdot\;4 =4\sqrt{3} \approx 6{,}9282.

Passo 4

Regra de Riemann (pontos à esquerda):
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}f(x)\,dx \approx h\bigl[f(x_{0})+f(x_{1})\bigr] = \frac{\pi}{6}\Bigl(0 + \frac{4}{3\sqrt{3}}\Bigr) = \frac{2\pi}{9\sqrt{3}} \approx 0{,}4030.

Passo 5

Regra do trapézio:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl[f(x_{0})+2f(x_{1})+f(x_{2})\bigr] = \frac{\pi/6}{2}\bigl[0 + 2\cdot0{,}7698 + 6{,}9282\bigr] = \frac{\pi}{12}\cdot8{,}4678 \approx 2{,}2179.

Passo 6

Regra de Simpson:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr] = \frac{\pi/6}{3}\bigl[0 + 4\cdot0{,}7698 + 6{,}9282\bigr] = \frac{\pi}{18}\cdot10{,}0074 \approx 1{,}7467.

Resposta

Riemann (esquerda): 0{,}4030
Trapézio: 2{,}2179
Simpson: 1{,}7467

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