Calcule um valor aproximado para cada integral usando, regra de Riemann, regra dos trapézio e regra de Simpson, todas com 2 subintervalos.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 3 \cdot \cos ^{2}(x) \cdot \operatorname{sen}(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}3\cos^2(x)\,\sin(x)\,dx
pelas regras de Riemann (usando pontos à esquerda), trapezoidal e de Simpson, todas com 2 subintervalos. Vamos usar teoria de soma de Riemann para a primeira, a fórmula do trapézio para a segunda e a fórmula de Simpson para a terceira.

Passo 2

Dividimos [0,\pi/3] em 2 subintervalos de largura
\Delta x = \frac{\pi/3 - 0}{2} = \frac{\pi}{6}.
Os nós são
x_0 = 0,\quad x_1 = \frac{\pi}{6},\quad x_2 = \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Definindo f(x)=3\cos^2(x)\sin(x), calculamos:
f(x_0)=f(0)=3\cdot1^2\cdot0=0,
f\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =3\cos^2\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =3\cdot\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2\cdot\tfrac12 =\frac{9}{8},
f\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =3\cos^2\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =3\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3}{8}.

Passo 4

Regra de Riemann (pontos à esquerda):
R = \sum_{i=0}^{1} f(x_i)\,\Delta x =\bigl[f(x_0)+f(x_1)\bigr]\frac{\pi}{6} =\Bigl(0+\frac{9}{8}\Bigr)\frac{\pi}{6} =\frac{9\pi}{48} =\frac{3\pi}{16} \approx0,589.

Passo 5

Regra do trapézio:
T = \frac{\Delta x}{2}\Bigl[f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\Bigr] =\frac{\pi/6}{2}\Bigl[0+2\cdot\frac{9}{8}+\frac{3\sqrt3}{8}\Bigr] =\frac{\pi}{12}\,\frac{18+3\sqrt3}{8} =\frac{\pi\,(6+\sqrt3)}{32} \approx0,759.

Passo 6

Regra de Simpson:
S = \frac{\Delta x}{3}\Bigl[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\Bigr] =\frac{\pi/6}{3}\Bigl[0+4\cdot\frac{9}{8}+\frac{3\sqrt3}{8}\Bigr] =\frac{\pi}{18}\,\frac{36+3\sqrt3}{8} =\frac{\pi\,(12+\sqrt3)}{48} \approx0,899.

Resposta

Regra de Riemann (esquerda): \displaystyle0,589
Regra do trapézio: \displaystyle0,759
Regra de Simpson: \displaystyle0,899

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