Calcule um valor aproximado para cada integral usando, regra de Riemann, regra dos trapézio e regra de Simpson, todas com 2 subintervalos.
\int_{1}^{5} \frac{5 x}{\left(4+x^{2}\right)^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede aproximações para
\int_{1}^{5}\frac{5x}{(4+x^{2})^{2}}\,dx
usando a soma de Riemann (à esquerda), a regra dos trapézios e a regra de Simpson, todas com n=2 subintervalos. O conteúdo aqui é métodos de integração numérica.

Passo 2

Com a=1, b=5 e n=2, o tamanho de cada subintervalo é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{5-1}{2}=2.
Os pontos de divisão são
x_{0}=1,\quad x_{1}=3,\quad x_{2}=5.

Passo 3

Definindo
f(x)=\frac{5x}{(4+x^{2})^{2}},
avaliamos nos nós:
f(1)=\frac{5\cdot1}{(4+1)^{2}}=\frac{5}{25}=0,2, \quad f(3)=\frac{5\cdot3}{(4+9)^{2}}=\frac{15}{169}\approx0,08876, \quad f(5)=\frac{5\cdot5}{(4+25)^{2}}=\frac{25}{841}\approx0,02973.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas:
A soma de Riemann à esquerda é
R_{\text{esq}} = h\bigl(f(x_{0})+f(x_{1})\bigr) =2\bigl(0,2+0,08876\bigr) \approx0,57752.
A regra dos trapézios dá
T =\frac{h}{2}\bigl(f(x_{0})+2f(x_{1})+f(x_{2})\bigr) =1\bigl(0,2+2\cdot0,08876+0,02973\bigr) \approx0,40725.
A regra de Simpson fornece
S =\frac{h}{3}\bigl(f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr) =\frac{2}{3}\bigl(0,2+4\cdot0,08876+0,02973\bigr) \approx0,38984.

Resposta

R_{\text{esq}}\approx0,57752
T\approx0,40725
S\approx0,38984

Exercícios relacionados