Calcule um valor aproximado para cada integral usando, regra de Riemann, regra dos trapézio e regra de Simpson, todas com 2 subintervalos.
\int_{1}^{3} 2 x+3 d x;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{1}^{3}(2x+3)\,dx
pelas regras de Riemann (usando pontos à esquerda), dos trapézios e de Simpson, todas com 2 subintervalos.

Passo 2

Dividimos o intervalo [1,3] em 2 subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x = \frac{3-1}{2} = 1.
Os nós são
x_0 = 1,\quad x_1 = 2,\quad x_2 = 3.

Passo 3

Calculamos os valores da função em cada nó:
f(x) = 2x + 3
f(x_0) = f(1) = 2\cdot1 + 3 = 5,
f(x_1) = f(2) = 2\cdot2 + 3 = 7,
f(x_2) = f(3) = 2\cdot3 + 3 = 9.

Passo 4

Regra de Riemann (pontos à esquerda):
R = \sum_{i=1}^{2} f(x_{i-1})\,\Delta x = \bigl(f(x_0)+f(x_1)\bigr)\cdot1 = (5+7)\cdot1 = 12.

Passo 5

Regra dos trapézios:
T = \frac{\Delta x}{2}\bigl[f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)\bigr] = \frac{1}{2}(5 + 2\cdot7 + 9) = \frac{1}{2}\cdot28 = 14.

Passo 6

Regra de Simpson:
S = \frac{\Delta x}{3}\bigl[f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)\bigr] = \frac{1}{3}(5 + 4\cdot7 + 9) = \frac{1}{3}\cdot42 = 14.

Resposta

Riemann (esq.): 12
Trapézios: 14
Simpson: 14

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