[Valor: 2,0] Considere a função abaixo:
f(x)=x \ln (x)-2
(a) Justifique a existência de uma raiz no intervalo (1;4). Realize duas iterações do método da bissecção seguida de duas iterações do método da falsa-posição para encontrar uma aproximação para esta raiz.
(b) Realize duas iterações do método de Newton-Raphson para refinar a aproximação da raiz x^{*} de f, usando como condição inicial a aproximação obtida no item (a). Determine o erro relativo entre os resultados (do item (a) com o (b)).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x\ln(x)-2
e pede:
– (a) mostrar que existe raiz em (1,4) pelo Teorema do Valor Intermediário;
aplicar duas iterações de bissecção e depois duas de falsa‐posição para aproximar essa raiz;
– (b) a partir da aproximação do item (a), fazer duas iterações de Newton‐Raphson e calcular o erro relativo entre as duas aproximações.

Passo 2

Verificamos os sinais em x=1 e x=4:
f(1)=1\cdot\ln(1)-2=0-2=-2<0,
f(4)=4\cdot\ln(4)-2\approx4\cdot1,3863-2=5,5452-2=3,5452>0.
Como f é contínua em (1,4) e f(1)\cdot f(4)<0, existe ao menos uma raiz em (1,4).

Passo 3

Duas iterações do método da bissecção em [a_0,b_0]=[1,4]:
1ª iteração:
c_1=\frac{1+4}{2}=2,5,\quad f(2,5)\approx2,5\ln(2,5)-2\approx0,2907>0,
como f(1)<0, o novo intervalo é [1,2,5].
2ª iteração:
c_2=\frac{1+2,5}{2}=1,75,\quad f(1,75)\approx1,75\ln(1,75)-2\approx-1,0207<0,
logo o intervalo fica [1,75,\,2,5].

Passo 4

Duas iterações do método da falsa‐posição em [a_2,b_2]=[1,75,2,5], com f(a_2)\approx-1,0207, f(b_2)\approx0,2907:
1ª iteração:
x_3=\frac{a_2\,f(b_2)-b_2\,f(a_2)}{f(b_2)-f(a_2)} =\frac{1,75\cdot0,2907-2,5\cdot(-1,0207)}{0,2907-(-1,0207)}\approx2,3335,
como f(x_3)\approx-0,0209<0, o novo intervalo é [2,3335,2,5].
2ª iteração:
x_4=\frac{2,3335\cdot0,2907-2,5\cdot(-0,0209)}{0,2907-(-0,0209)}\approx2,3430.
Portanto, a aproximação final do item (a) é x^{(a)}\approx2,3430.

Passo 5

O método de Newton‐Raphson usa
f'(x)=\ln(x)+1, \qquad x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Tomamos x_0=x^{(a)}=2,3430.
1ª iteração:
f(x_0)\approx2,3430\ln(2,3430)-2\approx-0,0045, \quad f'(x_0)\approx\ln(2,3430)+1\approx1,8515,
x_1=2,3430-\frac{-0,0045}{1,8515}\approx2,3454.
2ª iteração:
f(x_1)\approx2,3454\ln(2,3454)-2\approx0,00041, \quad f'(x_1)\approx1,8525,
x_2=2,3454-\frac{0,00041}{1,8525}\approx2,34518.
Assim, a aproximação do item (b) é x^{(b)}\approx2,34518.

Passo 6

Erro relativo entre os resultados dos itens (a) e (b):
\varepsilon_{\rm rel} =\frac{\bigl|x^{(b)}-x^{(a)}\bigr|}{\bigl|x^{(b)}\bigr|} =\frac{|2,34518-2,3430|}{2,34518}\approx0,00094\approx9,4\times10^{-4}.

Resposta

(a) Raiz em (1,4). Após duas bissecções: intervalo [1,75,2,5]. Duas falsa‐posições produzem
x^{(a)}\approx2,3430.
(b) Duas iterações de Newton‐Raphson com x_0=2,3430 dão
x^{(b)}\approx2,34518,
erro relativo \varepsilon_{\rm rel}\approx9{,}4\times10^{-4}.

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