Calcule o valor aproximado de \int_{0}^{0,8}\left(3 \cos x+x^{2}\right) d x utilizando a regra dos Trapézios generalizada com n=4. Encontre um limitante superior para o erro cometido na aproximação.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
\int_{0}^{0,8}\bigl(3\cos x + x^2\bigr)\,dx
pela regra dos Trapézios generalizada com n=4 subintervalos, e em seguida encontrar um limitante superior para o erro cometido. Vamos usar:
  1. A fórmula da regra dos Trapézios generalizada
  2. O fato de que o erro satisfaça
E_T \le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,\max_{x\in[a,b]} \bigl|f''(x)\bigr|.

Passo 2

Primeiro achamos o passo h e os valores de f(x_i).
h = \frac{0,8 - 0}{4} = 0,2,
e os nós são
x_i = 0,\,0,2,\,0,4,\,0,6,\,0,8.
Como f(x)=3\cos x + x^2, temos
f(0)=3, \quad f(0,2)=3\cos(0,2)+0,2^2\approx2,9802,
f(0,4)=3\cos(0,4)+0,4^2\approx2,9232, \quad f(0,6)=3\cos(0,6)+0,6^2\approx2,8360,
f(0,8)=3\cos(0,8)+0,8^2\approx2,7301.

Passo 3

Aplicando a regra dos Trapézios generalizada:
T_4 = \frac{h}{2}\Bigl[f(x_0)+2(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3))+f(x_4)\Bigr].
Substituindo
T_4 = \frac{0,2}{2}\Bigl[3 + 2\,(2,9802 + 2,9232 + 2,8360) + 2,7301\Bigr] =0,1\,(3 + 17,4788 + 2,7301) =0,1\cdot23,2089 \approx2,3209.

Passo 4

Agora o limitante de erro. Como
f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}\bigl(3\cos x + x^2\bigr) = -3\cos x + 2,
em x\in[0,0,8] temos -3\cos x +2\in[-1,\,-0,088], logo
\max_{[0,0,8]}|f''(x)| = 1.
Portanto
E_T \le \frac{(0,8-0)^3}{12\cdot4^2}\;1 =\frac{0,512}{12\cdot16} =\frac{0,512}{192} \approx0,002667.

Resposta

Valor aproximado da integral: 2,3209.
Limitante superior para o erro: 0,002667.

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