Os dados abaixo relacionam o ano x (a partir de 1970) e o número y de transistores num processador. Ajustar os dados a uma função exponencial y=a b^{x}.
x 1 2 4 8 12 15 19
y 2250 2500 5000 29000 120000 275000 1180000

Passo 1

O enunciado pede para ajustar os pontos (x_i,y_i) à curva exponencial
y = a\,b^{x}.
O método mais direto é linearizar tomando logaritmo natural: se definirmos
Y = \ln y,\quad A = \ln a,\quad B = \ln b,
então o modelo vira
Y = A + B\,x,
que é um ajuste linear por mínimos quadrados em (x,Y).

Passo 2

Transformamos cada y_i em Y_i = \ln y_i. Na prática calculamos numericamente:
\begin{array}{c|c|c} x_i & y_i & Y_i = \ln y_i\\hline 1 & 2250 & 7{,}7187\\\\ 2 & 2500 & 7{,}8240\\\\ 4 & 5000 & 8{,}5172\\\\ 8 & 29000 &10{,}2751\\\\ 12 &120000 &11{,}6952\\\\ 15 &275000 &12{,}5245\\\\ 19 &1180000 &13{,}9810 \end{array}

Passo 3

Para o ajuste linear usamos as fórmulas
B = \frac{n\sum x_iY_i - \bigl(\sum x_i\bigr)\bigl(\sum Y_i\bigr)} {\,n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\,}, \quad A = \frac{\sum Y_i - B\sum x_i}{n},
com n=7. Calculamos
\sum x_i = 61,\quad \sum x_i^2 = 815,\quad \sum Y_i = 72{,}5357,\quad \sum x_iY_i = 733{,}4852.
Substituindo,
B = \frac{7\cdot733{,}4852 - 61\cdot72{,}5357}{7\cdot815 - 61^2} \approx 0{,}3561,
A = \frac{72{,}5357 - 0{,}3561\cdot61}{7} \approx 7{,}2582.

Passo 4

Voltando às variáveis originais,
a = e^{A}\approx e^{7{,}2582}\approx 1421{,}2, \quad b = e^{B}\approx e^{0{,}3561}\approx 1{,}4270.

Resposta

A curva ajustada é
\boxed{y \approx 1421{,}2 \,\bigl(1{,}427\bigr)^{x}}.

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