Considere o sistema linear:
\begin{gathered} 5 x_{1}-x_{2}-2 x_{3}=6 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=6 \end{gathered}
Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito. Se sim, resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel com 3 iterações.

Passo 1

O sistema é
\begin{cases} 5x_{1}-x_{2}-2x_{3}=6,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=1,\\\\ -\,x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=6. \end{cases}
O que vamos fazer:
  1. Verificar o critério de Sassenfeld (para garantir convergência de Gauss–Seidel).
  2. Se satisfeito, aplicar o método de Gauss–Seidel com 3 iterações, partindo de (x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)})=(0,0,0).

Passo 2

Calculamos os coeficientes \beta_i de Sassenfeld:
\beta_{1} =\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|} =\frac{1+2}{5} =\frac{3}{5} =0,6.
\beta_{2} =\frac{|a_{21}|\beta_{1}+|a_{23}|}{|a_{22}|} =\frac{2\cdot0,6+1}{3} =\frac{2,2}{3} \approx0,7333.
\beta_{3} =\frac{|a_{31}|\beta_{1}+|a_{32}|\beta_{2}}{|a_{33}|} =\frac{1\cdot0,6+2\cdot0,7333}{4} =\frac{2,0666}{4} \approx0,5167.

Passo 3

Como
\max\{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\} =\beta_{2}\approx0,7333<1,
o critério de Sassenfeld é satisfeito. Logo, o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 4

Reescrevemos cada equação isolando a incógnita correspondente, gerando as fórmulas iterativas:
x_{1}=\frac{6 + x_{2} + 2x_{3}}{5},\quad x_{2}=\frac{1 - 2x_{1} + x_{3}}{3},\quad x_{3}=\frac{6 + x_{1} - 2x_{2}}{4}.

Passo 5

Iteração k=1 (com (0,0,0) como chute inicial):
x_{1}^{(1)} =\frac{6 + 0 + 2\cdot0}{5} =1,2000,
x_{2}^{(1)} =\frac{1 - 2\cdot1,2000 + 0}{3} =\frac{-1,4000}{3} \approx -0,4667,
x_{3}^{(1)} =\frac{6 + 1,2000 - 2\cdot(-0,4667)}{4} =\frac{6 + 1,2000 + 0,9334}{4} \approx 2,0333.

Passo 6

Iteração k=2:
x_{1}^{(2)} =\frac{6 + (-0,4667) + 2\cdot2,0333}{5} =\frac{9,6000}{5} =1,9200,
x_{2}^{(2)} =\frac{1 - 2\cdot1,9200 + 2,0333}{3} =\frac{-0,8067}{3} \approx -0,2689,
x_{3}^{(2)} =\frac{6 + 1,9200 - 2\cdot(-0,2689)}{4} =\frac{8,4578}{4} \approx 2,1145.

Passo 7

Iteração k=3:
x_{1}^{(3)} =\frac{6 + (-0,2689) + 2\cdot2,1145}{5} =\frac{9,9601}{5} \approx 1,9920,
x_{2}^{(3)} =\frac{1 - 2\cdot1,9920 + 2,1145}{3} =\frac{-0,8695}{3} \approx -0,2899,
x_{3}^{(3)} =\frac{6 + 1,9920 - 2\cdot(-0,2899)}{4} =\frac{8,5718}{4} \approx 2,1429.

Resposta

O critério de Sassenfeld é satisfeito e, após 3 iterações de Gauss–Seidel, obtemos a aproximação
(x_{1},x_{2},x_{3}) \approx (1,9920,\,-0,2899,\,2,1429).

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