1. Calcule valor aproximado da integral \int_{-1}^{1} \frac{d x}{1+x^{4}} utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos ( h=1 ).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral \int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^{4}} usando a regra dos trapézios repetida, dividindo o intervalo em dois subintervalos (o enunciado já diz que h=1). Informações dadas e o que precisamos usar:
\quad - Integral: \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^{4}}.
\quad - Intervalo: [a,b]=[-1,1].
\quad - Número de subintervalos: n=2 (implícito por “dividindo por dois subintervalos”).
\quad - Passo (largura de cada subintervalo): h=1 (dado).
\quad - Função: f(x)=\dfrac{1}{1+x^{4}}.

Passo 2

Explicação didática da regra dos trapézios composta (o que vamos aplicar):
A ideia é aproximar a área sob a curva por trapézios em cada subintervalo. Para um subintervalo [x_i,x_{i+1}] de largura h, a área aproximada é a área do trapézio com bases f(x_i) e f(x_{i+1}), ou seja:
\text{área}_i \approx \frac{h}{2}\bigl(f(x_i)+f(x_{i+1})\bigr).á
Somando para todos os n subintervalos iguais obtemos a regra dos trapézios composta:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(x_n)\right),
onde \;x_0=a,\;x_n=b\; e \;h=\dfrac{b-a}{n}\;.
Aqui cada símbolo significa: \;f(x_i) = valor da função no ponto x_i; \;h = largura de cada subintervalo; \;n = número de subintervalos.

Passo 3

Determinar os nós (pontos) no intervalo com n=2 e h=1:
\;x_0=a=-1.
\;x_1=x_0+h=-1+1=0.
\;x_2=x_1+h=0+1=1.
Portanto os nós são \;x_0=-1,\;x_1=0,\;x_2=1.

Passo 4

Calcular os valores da função nos nós (mostrando passo a passo):
f(x)=\frac{1}{1+x^{4}}.
Para \;x_0=-1:
f(-1)=\frac{1}{1+(-1)^{4}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=0,5.
Para \;x_1=0:
f(0)=\frac{1}{1+0^{4}}=\frac{1}{1}=1.
Para \;x_2=1:
f(1)=\frac{1}{1+1^{4}}=\frac{1}{2}=0,5.

Passo 5

Aplicar a fórmula composta com n=2 e h=1:
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^{4}}\approx \frac{h}{2}\bigl(f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Substituindo h=1 e os valores calculados:
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^{4}}\approx \frac{1}{2}\bigl(0,5 + 2\cdot 1 + 0,5\bigr).
Calcule dentro dos parênteses:
0,5 + 2\cdot 1 + 0,5 = 0,5 + 2 + 0,5 = 3.
Portanto:
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^{4}}\approx \frac{1}{2}\cdot 3 = 1,5.

Resposta

1,5

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