- Calcule valor aproximado da integral
utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos (
).
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado:
- Pede: calcular um valor aproximado da integral
usando a regra dos trapézios repetida (composta), dividindo o intervalo em dois subintervalos. - Dados importantes do enunciado:
- Intervalo:
. - Número de subintervalos:
. - Passo (largura de cada subintervalo):
(isso foi dado; também corresponde a ).
- Intervalo:
- Objetivo final deste exercício: aplicar a fórmula composta da regra dos trapézios com
e obter o valor aproximado da integral.
Passo 2
Definir a função e os pontos da malha (nós) que vamos usar:
- Função:
. - Nós (pontos) com
e : -
, -
, -
.
Vou avaliarem cada nó (faço conta mostrada passo a passo).
-
-
-
-
Passo 3
Apresentar a fórmula da regra dos trapézios composta (repetida) e explicar:
- Fórmula geral para
subintervalos de largura em :
- O que significa cada termo:
-
é a largura de cada subintervalo. -
e são os valores nos extremos. - Os
interiores são multiplicados por porque cada segmento trapezoidal interior contribui com esse nó para dois trapézios adjacentes.
-
- No nosso caso temos
, então a soma interna tem só , e a fórmula fica:
Passo 4
Substituir os valores calculados na fórmula e fazer as contas passo a passo:
- Sabemos
, , , . - Substituindo:
- Calcular dentro do parêntese:
- Multiplicando por
:
Portanto, a aproximação pela regra dos trapézios composta com
é
Passo 5
(Faço uma comparação rápida com o valor exato para ter noção do erro — isso ajuda a entender a qualidade da aproximação)
- A integral exata pode ser calculada pelo primitivo de
, que é . Logo
- Erro da aproximação:
Passo 6
(Explicar o comportamento do erro e uma cota de erro da regra dos trapézios composta)
- Fórmula de erro (teorema): para a regra dos trapézios composta com passo
em existe tal que
- Dessa forma, uma cota segura é
- Vamos calcular
para a nossa função para estimar a cota:-
. -
- Derivando de novo (faço passo a passo):
- Simplificando:
-
- Portanto
- Em
o valor máximo de ocorre em (verificação rápida pelos valores: em dá , em dá ), então
Passo 7
Calcular a cota de erro usando a fórmula e os valores:
- Aqui
, então , , e . - Assim
- Essa é uma cota grossa (sobreestima o erro real), mas confirma que o erro da aproximação está limitado por cerca de
. Nosso erro real ( ) é bem menor, o que é normal.
Passo 8
Resumo final do procedimento (como fazer na prova, passo a passo rápido):
- Dividir o intervalo em
subintervalos iguais, calcular . - Avaliar
nos nós . - Aplicar
. - (Opcional) Calcular o erro ou usar a cota com
se pedir precisão.