1. Calcule valor aproximado da integral \int_{-1}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}} utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos ( h=1 ).

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:
  • Pede: calcular um valor aproximado da integral \displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}} usando a regra dos trapézios repetida (composta), dividindo o intervalo em dois subintervalos.
  • Dados importantes do enunciado:
    • Intervalo: [a,b]=[-1,1].
    • Número de subintervalos: n=2.
    • Passo (largura de cada subintervalo): h=1 (isso foi dado; também corresponde a \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{1-(-1)}{2}=1).
  • Objetivo final deste exercício: aplicar a fórmula composta da regra dos trapézios com n=2 e obter o valor aproximado da integral.

Passo 2

Definir a função e os pontos da malha (nós) que vamos usar:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • Nós (pontos) com n=2 e h=1:
    • x_0=a=-1,
    • x_1=x_0+h=-1+1=0,
    • x_2=x_1+h=0+1=1.
      Vou avaliar f em cada nó (faço conta mostrada passo a passo).
  • f(x_0)=f(-1)=\dfrac{1}{1+(-1)^{2}}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.
  • f(x_1)=f(0)=\dfrac{1}{1+0^{2}}=\dfrac{1}{1}=1.
  • f(x_2)=f(1)=\dfrac{1}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}.

Passo 3

Apresentar a fórmula da regra dos trapézios composta (repetida) e explicar:
  • Fórmula geral para n subintervalos de largura h em [a,b]:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big(f(x_{0}) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i}) + f(x_{n})\Big).
  • O que significa cada termo:
    • h é a largura de cada subintervalo.
    • f(x_0) e f(x_n) são os valores nos extremos.
    • Os f(x_i) interiores são multiplicados por 2 porque cada segmento trapezoidal interior contribui com esse nó para dois trapézios adjacentes.
  • No nosso caso temos n=2, então a soma interna tem só i=1, e a fórmula fica:
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\big( f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)\big).

Passo 4

Substituir os valores calculados na fórmula e fazer as contas passo a passo:
  • Sabemos h=1, f(x_0)=\dfrac{1}{2}, f(x_1)=1, f(x_2)=\dfrac{1}{2}.
  • Substituindo:
\text{aprox} = \frac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{2} + 2\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\Big).
  • Calcular dentro do parêntese: \tfrac{1}{2} + 2\cdot 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} + 2 + \tfrac{1}{2} = 3.
  • Multiplicando por \dfrac{1}{2}:
\text{aprox} = \frac{1}{2}\cdot 3 = \frac{3}{2}=1,5.
Portanto, a aproximação pela regra dos trapézios composta com n=2 é \,1,5.

Passo 5

(Faço uma comparação rápida com o valor exato para ter noção do erro — isso ajuda a entender a qualidade da aproximação)
  • A integral exata pode ser calculada pelo primitivo de f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, que é \arctan(x). Logo
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}} = \arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{4}-\Big(-\frac{\pi}{4}\Big)=\frac{\pi}{2}\approx 1,570796\ldots
  • Erro da aproximação: \text{erro} = \left|\dfrac{\pi}{2} - 1,5\right|\approx 0,0708.

Passo 6

(Explicar o comportamento do erro e uma cota de erro da regra dos trapézios composta)
  • Fórmula de erro (teorema): para a regra dos trapézios composta com passo h em [a,b] existe \xi\in(a,b) tal que
E = \int_{a}^{b} f(x)\,dx - T_{n} = -\frac{(b-a)}{12}\,h^{2}\,f''(\xi).
  • Dessa forma, uma cota segura é
|E| \le \frac{(b-a)}{12}\,h^{2}\,\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
  • Vamos calcular f''(x) para a nossa função para estimar a cota:
    • f(x)=(1+x^{2})^{-1}.
    • f'(x) = -2x(1+x^{2})^{-2}.
    • Derivando de novo (faço passo a passo): f''(x) = \frac{d}{dx}\Big(-2x(1+x^{2})^{-2}\Big) = -2\Big((1+x^{2})^{-2} + x\cdot(-2)(1+x^{2})^{-3}\cdot 2x\Big).
    • Simplificando:
f''(x) = -2\Big((1+x^{2})^{-2} - 4x^{2}(1+x^{2})^{-3}\Big) = -2(1+x^{2})^{-3}\big((1+x^{2}) - 4x^{2}\big) = -2\frac{1-3x^{2}}{(1+x^{2})^{3}}.
  • Portanto
|f''(x)| = 2\frac{|1-3x^{2}|}{(1+x^{2})^{3}}.
  • Em [-1,1] o valor máximo de |f''(x)| ocorre em x=0 (verificação rápida pelos valores: em x=0 2, em x=\pm1 \tfrac{1}{2}), então \max_{[-1,1]}|f''(x)|=2.

Passo 7

Calcular a cota de erro usando a fórmula e os valores:
  • Aqui a=-1, b=1 então b-a=2, h=1, e \max|f''|=2.
  • Assim
|E| \le \frac{b-a}{12}h^{2}\max|f''| = \frac{2}{12}\cdot 1^{2}\cdot 2 = \frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx 0,333\ldots
  • Essa é uma cota grossa (sobreestima o erro real), mas confirma que o erro da aproximação está limitado por cerca de 0,333. Nosso erro real ( \approx 0,0708) é bem menor, o que é normal.

Passo 8

Resumo final do procedimento (como fazer na prova, passo a passo rápido):
  1. Dividir o intervalo em n subintervalos iguais, calcular h=(b-a)/n.
  2. Avaliar f nos nós x_0,\dots,x_n.
  3. Aplicar \dfrac{h}{2}\big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\big).
  4. (Opcional) Calcular o erro ou usar a cota com f'' se pedir precisão.

Resposta

1,5

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