1. Dada tabela dos valores:
x 0 2 \alpha 4 5
y 9 1 0 \beta 4
Determine \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.

Passo 1

O enunciado dá a tabela com pontos da função y(x):
\begin{array}{l|l|l|l|l|l} x & 0 & 2 & \alpha & 4 & 5 \\\ \hline y & 9 & 1 & 0 & \beta & 4 \end{array}
Ou seja, os pontos conhecidos/indicados são (0,9), (2,1), (\alpha,0), (4,\beta) e (5,4).
A pergunta é: determinar \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.

Passo 2

Estratégia simples (escolha que eu sempre faço na prova): um polinômio do segundo grau tem três coeficientes (portanto é determinado por três pontos distintos). Como temos três pontos com coordenadas totalmente conhecidas — (0,9), (2,1) e (5,4) — é natural usar esses três para encontrar o polinômio y(x). Depois, com esse polinômio, calculamos \alpha resolvendo y(\alpha)=0 e calculamos \beta avaliando y(4).

Passo 3

Escrevemos a forma geral do polinômio do segundo grau:
y(x)=ax^2+bx+c,
onde a, b e c são números reais que vamos determinar. Cada ponto (x_0,y_0) fornece a equação y_0=a x_0^2 + b x_0 + c.

Passo 4

Usando o ponto (0,9) e substituindo na fórmula obtemos:
9 = a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c \Rightarrow c=9.
Já temos c. (Explicando: ao pôr x=0 o termo com a e b desaparecem, sobrando c.)

Passo 5

Usando o ponto (2,1) e sabendo c=9:
1 = a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + 9.
Calcule passo a passo:
1 = 4a + 2b + 9 \Rightarrow 4a + 2b = 1-9 = -8.
Dividindo por 2 para simplificar:
2a + b = -4.
Isolamos b em função de a:
b = -4 - 2a.

Passo 6

Agora usamos o ponto (5,4) com c=9:
4 = a\cdot 5^2 + b\cdot 5 + 9.
Passo a passo:
4 = 25a + 5b + 9 \Rightarrow 25a + 5b = 4-9 = -5.

Passo 7

Substituímos b = -4 - 2a na equação anterior:
25a + 5(-4 - 2a) = -5.
Desenvolvendo:
25a - 20 - 10a = -5 \Rightarrow (25a-10a) -20 = -5.
Ou seja:
15a - 20 = -5 \Rightarrow 15a = 15 \Rightarrow a = 1.

Passo 8

Com a=1, voltamos em b = -4 - 2a:
b = -4 - 2\cdot 1 = -4 - 2 = -6.
Portanto os coeficientes são a=1, b=-6, c=9.

Passo 9

Escrevemos o polinômio encontrado:
y(x)=1\cdot x^2 -6x + 9 = x^2 - 6x + 9.
Uma observação útil: esse trinomio é um quadrado perfeito:
x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2.
Isso facilita achar as raízes e valores.

Passo 10

Para encontrar \alpha usamos y(\alpha)=0. Como y(x)=(x-3)^2,
0 = (\alpha-3)^2 \Rightarrow \alpha-3=0 \Rightarrow \alpha=3.

Passo 11

Para encontrar \beta avaliamos y(4):
\beta = y(4) = 4^2 - 6\cdot 4 + 9 = 16 - 24 + 9.
Calculando:
16 - 24 = -8,\quad -8 + 9 = 1 \Rightarrow \beta = 1.

Passo 12

Cheque rápido (serve para ganhar confiança na prova): verifique que os pontos iniciais batem com o polinômio:
y(2)=2^2 -6\cdot 2 +9 = 4 -12 +9 = 1,\quad y(5)=25 -30 +9 =4,
isso confere com os dados da tabela.

Resposta

\alpha = 3
\beta = 1

Exercícios relacionados