- Dada tabela dos valores:
x
0
2
4
5
y
9
1
0
4
Determine
e
sabendo que
é um polinômio do segundo grau.
| x | 0 | 2 |
|
4 | 5 |
| y | 9 | 1 | 0 |
|
4 |
Passo 1
O enunciado dá a tabela com pontos da função
:
Ou seja, os pontos conhecidos/indicados são
,
,
,
e
.
A pergunta é: determinar e
sabendo que
é um polinômio do segundo grau.
A pergunta é: determinar
Passo 2
Estratégia simples (escolha que eu sempre faço na prova): um polinômio do segundo grau tem três coeficientes (portanto é determinado por três pontos distintos). Como temos três pontos com coordenadas totalmente conhecidas —
,
e
— é natural usar esses três para encontrar o polinômio
. Depois, com esse polinômio, calculamos
resolvendo
e calculamos
avaliando
.
Passo 3
Escrevemos a forma geral do polinômio do segundo grau:
onde
,
e
são números reais que vamos determinar. Cada ponto
fornece a equação
.
Passo 4
Usando o ponto
e substituindo na fórmula obtemos:
Já temos
. (Explicando: ao pôr
o termo com
e
desaparecem, sobrando
.)
Passo 5
Usando o ponto
e sabendo
:
Calcule passo a passo:
Dividindo por
para simplificar:
Isolamos
em função de
:
Passo 6
Agora usamos o ponto
com
:
Passo a passo:
Passo 7
Substituímos
na equação anterior:
Desenvolvendo:
Ou seja:
Passo 8
Com
, voltamos em
:
Portanto os coeficientes são
,
,
.
Passo 9
Escrevemos o polinômio encontrado:
Uma observação útil: esse trinomio é um quadrado perfeito:
Isso facilita achar as raízes e valores.
Passo 10
Para encontrar
usamos
. Como
,
Passo 11
Para encontrar
avaliamos
:
Calculando:
Passo 12
Cheque rápido (serve para ganhar confiança na prova): verifique que os pontos iniciais batem com o polinômio:
isso confere com os dados da tabela.