(use aproximações com 4 casas decimais) Do cálculo I, sabemos que integral0^pi sen(x) d x=2. Calcule:
a) Integral de Newton-Cotes com n=3.
b) Integral pela Regra dos trapézios com n=3.
c) Integral pela Regra de Romberg com N=3.
d) Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a integral

e você precisa aproximar esse valor por três métodos numéricos diferentes:
a) Newton–Cotes com integral0^pisen(x),dx = 2 (a regra 3/8 de Simpson)
b) Regra dos trapézios com subintervalos
c) Método de Romberg com níveis (i.e., 3 iterações)
Por fim, a gente compara qual teve o menor erro. Para fazer tudo isso, vamos precisar:
- Conhecer as fórmulas de Newton–Cotes (fechada, grau 3).
- A fórmula da regra dos trapézios em subintervalos.
- Como funciona o refinamento de Romberg (trapézio + extrapolação de Richardson).

Passo 2

  1. Dividimos h = pi-03 = pi3 em integral0^pisen(x),dx approx 3h8l[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r] subintervalos iguais, então f(0)=0, f(pi/3)=raiz32approx0,8660, f(2pi/3)=raiz32approx0,8660, f(pi)=0
  2. Os nós são f(0)+3f(pi/3)+3f(2pi/3)+f(pi) = 0 +3cdot0,8660 +3cdot0,8660 +0 = 6times0,8660 = 5,1960 , integral0^pisen(x),dx approx 3,(pi/3)8times5,1960 = pi8times5,1960 approx 0,3927times5,1960 = 2,0406 , , .
  3. A fórmula da regra 3/8 (Newton–Cotes grau 3) é
  4. Avaliando :
  5. Soma de pesos:
  6. Logo,

Passo 3

  1. De novo integral0^pisen(x),dx approx h2l[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+f(x3)r] .
  2. Fórmula geral em f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+f(x3) = 0 +2cdot0,8660 +2cdot0,8660 +0 = 4times0,8660 = 3,4640 subintervalos:
  3. A gente já tem os mesmos integral0^pisen(x),dx approx pi/32times3,4640 = pi6times3,4640 approx 0,5236times3,4640 = 1,8138 do passo anterior. Então
  4. Logo,

Passo 4

Romberg é um refinamento da regra dos trapézios usando extrapolação. Vamos construir a tabela R(1,1) = pi2l[f(0)+f(pi)r] = pi2(0+0) = 0 com 3 níveis:
  1. Nível 1 ( R(2,1) = h2l[f(0)+2f(pi/2)+f(pi)r] = pi/41l[0 +2cdot1 +0r] = pi2 = 1,5708 ): só 1 subintervalo ( R(3,1) = pi/42l[0+2(0,7071+1+0,7071)+0r] = pi8times4,8284 = 1,8961 ) R(2,2) = R(2,1) + R(2,1)-R(1,1)4^1-1 = 1,5708 + 1,5708 -03 = 2,0944,
  2. Nível 2 ( R(3,2) = 1,8961 + 1,8961 -1,57083 = 2,0045 ): 2 subintervalos ( R(3,3) = R(3,2) + R(3,2)-R(2,2)4^2-1 = 2,0045 + 2,0045 -2,094415 = 1,9985 )
  3. Nível 3 ( ): 4 subintervalos ( )
    Nós em , com
    .
  4. Extrapolações de Richardson:
    Para :
  5. Finalmente, :

Passo 5

Erro absoluto :
  • Newton–Cotes (3/8):
  • Trapézios :
  • Romberg :
O menor erro ficou com o método de Romberg.

Resposta

a)
b)
c)
d) O método de Romberg ( ) é o que apresenta o menor erro.

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