(use aproximações com 4 casas decimais) Do cálculo I, sabemos que
. Calcule:
a) Integral de Newton-Cotes com
.
b) Integral pela Regra dos trapézios com
.
c) Integral pela Regra de Romberg com
.
d) Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?
a) Integral de Newton-Cotes com
b) Integral pela Regra dos trapézios com
c) Integral pela Regra de Romberg com
d) Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é a integral
e você precisa aproximar esse valor por três métodos numéricos diferentes:
a) Newton–Cotes com
b) Regra dos trapézios com
c) Método de Romberg com
Por fim, a gente compara qual teve o menor erro. Para fazer tudo isso, vamos precisar:
- Conhecer as fórmulas de Newton–Cotes (fechada, grau 3).
- A fórmula da regra dos trapézios em
- Como funciona o refinamento de Romberg (trapézio + extrapolação de Richardson).
Passo 2
- Dividimos
em subintervalos iguais, então - Os nós são
, , , . - A fórmula da regra 3/8 (Newton–Cotes grau 3) é
- Avaliando :
- Soma de pesos:
- Logo,
Passo 3
- De novo
. - Fórmula geral em
subintervalos: - A gente já tem os mesmos
do passo anterior. Então - Logo,
Passo 4
Romberg é um refinamento da regra dos trapézios usando extrapolação. Vamos construir a tabela
com 3 níveis:
- Nível 1 (
): só 1 subintervalo ( ) - Nível 2 (
): 2 subintervalos ( ) - Nível 3 (
): 4 subintervalos ( )
Nós em, com
. - Extrapolações de Richardson:
Para: - Finalmente,
:
Passo 5
Erro absoluto
:
- Newton–Cotes (3/8):
- Trapézios
: - Romberg
:
O menor erro ficou com o método de Romberg.
Resposta
a)
b)
c)
d) O método de Romberg ( ) é o que apresenta o menor erro.
b)
c)
d) O método de Romberg (