Calcule o valor de a_{2}+a_{4}+a_{6}+\cdots+a_{98} se a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots é uma progressão aritmética com razão 1 , e a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{98}=137.

Passo 1

A sequência (a_n) é uma progressão aritmética de razão 1. O enunciado dá a soma dos 98 primeiros termos,
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{98}=137,
e pede a soma dos termos de índice par
a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{98}.

Passo 2

Como a razão é 1, o termo geral é
a_n = a_{1} + (n-1).
A soma dos 98 primeiros termos de uma PA vale
S_{98} = \frac{98}{2}\,(a_{1} + a_{98}) =49\bigl(a_{1} + (a_{1}+97)\bigr) =49\,(2a_{1}+97).
Pelo enunciado, S_{98}=137, então
49\,(2a_{1}+97)=137.

Passo 3

Isolando a_{1}:
2a_{1}+97 = \frac{137}{49}, \quad 2a_{1} = \frac{137}{49}-97 = \frac{137 - 97\cdot49}{49} = -\frac{4616}{49},
a_{1} = -\frac{2308}{49}.

Passo 4

Os termos de índice par são
a_{2},a_{4},\dots,a_{98}
que formam uma PA de primeiro termo a_{2}=a_{1}+1, razão 2 e 49 termos. A soma desses termos é
S_{\rm pares} = \frac{49}{2}\bigl((a_{1}+1)+(a_{1}+97)\bigr) =49\,(a_{1}+49).
Como
a_{1}+49 = -\frac{2308}{49}+49 = \frac{-2308+2401}{49} = \frac{93}{49},
segue
S_{\rm pares} = 49\cdot\frac{93}{49} = 93.

Resposta

93

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