A soma dos n primeiros termos de uma sequencia é S_{n}=a n^{2}+b n, para todo n \in \mathbb{N}, sendo a e b números conhecidos. Prove que esta sequencia é uma P.A.

Passo 1

O enunciado dá a soma dos n primeiros termos de uma sequência (u_n) como
S_n = a n^2 + b n\,,
onde a e b são constantes conhecidas. Queremos mostrar que a sequência (u_n) é uma progressão aritmética (P.A.), ou seja, que a diferença entre termos consecutivos é constante.

Passo 2

Definimos o n-ésimo termo da sequência pela relação usual entre soma parcial e termo:
u_n = S_n - S_{n-1}.
Como
S_n = a n^2 + b n \quad\text{e}\quad S_{n-1} = a(n-1)^2 + b(n-1),
segue que
u_n = a\bigl(n^2 - (n-1)^2\bigr) \;+\; b\bigl(n - (n-1)\bigr) = a(2n - 1) + b.

Passo 3

Agora calculamos a diferença entre dois termos consecutivos:
u_{n+1} - u_n = \bigl[a(2(n+1)-1) + b\bigr] \;-\; \bigl[a(2n-1) + b\bigr] = a\bigl(2n+1 - (2n-1)\bigr) = 2a.
Como essa diferença é constante (igual a 2a), concluímos que (u_n) é uma progressão aritmética de razão r = 2a.

Resposta

A sequência é P.A. de razão 2a.

Exercícios relacionados