Calcule
onde:
e
Passo 1) Calcule
. Se
, a e
são
relativamente primos. Então, existe
.
Passo 2) Elabore a equação:
, isto é:
Passo 3) Se x for negativo, faça a correção.
Passo 1) Calcule
relativamente primos. Então, existe
Passo 2) Elabore a equação:
Passo 3) Se x for negativo, faça a correção.
Passo 1
Beleza, a gente precisa achar o inverso de
no anel
, ou seja, descobrir um número
tal que
Esse assunto é de teoria dos números (aritmética modular) e vamos usar:
- o algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum (mdc),
- o algoritmo de Euclides estendido para escrever esse mdc como combinação linear
, - daí pegar o
que resolve essa equação e ajustar (se for negativo) para ficar entre e .
Passo 2
Primeiro confirmamos que
, porque se não fosse 1 não existiria inverso.
Aplicando o algoritmo de Euclides:
Aplicando o algoritmo de Euclides:
Como o último resto não nulo é 1, temos
. Então o inverso existe.
Passo 3
Agora o Euclides estendido para achar
e
tais que
Voltando os restos para cima:
-
. - Mas
, então
- E
, então
- E
, então
- E
, então
Logo identificamos
e
.
Passo 4
Nosso
resolve
, mas ele está negativo. Pra corrigir, adicionamos
até ficar num intervalo legal:
Resposta
O inverso de
em
é
, pois