Cálculo Numérico EA - 2024
Prova 4
Problema 1 Seja
f(x)=1x+2
  • (4 pontos) Determinar o menor número inteiro n, tal que a fórmula de quadratura composta de Simpson QS, n(f) aproxima I(f) com erro que não excede varepsilon=0.05.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função e precisamos aproximar a integral dessa função usando a fórmula de quadratura composta de Simpson. Queremos encontrar o menor número inteiro de subintervalos que garante que o erro dessa aproximação não seja maior que .
Para resolver isso, vamos utilizar a estimativa de erro da regra de Simpson. Precisaremos calcular a derivada quarta da função e encontrar seu valor máximo no intervalo de integração. Além disso, precisamos saber os limites de integração e . No entanto, como os limites não foram fornecidos no enunciado, vamos assumir que a integral é calculada no intervalo para prosseguir com a resolução.

Passo 2

Calculando as derivadas de f'(x) = -1(x + 2)^2 :
Para a regra de Simpson, precisamos da quarta derivada de f''(x) = 2(x + 2)^3 . Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeira derivada:
    f'''(x) = -6(x + 2)^4
  2. Segunda derivada:
    f''''(x) = 24(x + 2)^5
  3. Terceira derivada:
  4. Quarta derivada:

Passo 3

Encontrando o valor máximo de M = 24(0 + 2)^5 = 2432 = 0,75 no intervalo :
A derivada quarta é . Para encontrar o máximo dessa função no intervalo , observamos que o denominador é menor quando é menor, ou seja, em .

Passo 4

Aplicando a estimativa de erro da regra de Simpson:
A fórmula para o erro na regra de Simpson é:
|E| <= M (b - a)^5180 n^4
Substituindo os valores conhecidos:
0,05 >= 0,75 times (1 - 0)^5180 n^4
Simplificando:
0,05 >= 0,75180 n^4
0,05 >= 0,0041667n^4

Passo 5

Resolvendo para 0,05 times n^4 >= 0,0041667 :
Vamos isolar n^4 >= 0,00416670,05 = 0,083333 :
n >= raiz[4]0,083333 approx 0,668
Agora, tiramos a raiz quarta dos dois lados:
Como deve ser um número inteiro par (pois a regra de Simpson requer um número par de subintervalos), o menor valor inteiro par que satisfaz essa condição é .

Resposta

O menor número inteiro necessário é 2.

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