Cálculo Numérico EA - 2024
Prova 4
Problema 1 Seja
- (4 pontos) Determinar o menor número inteiro
, tal que a fórmula de quadratura composta de Simpson
aproxima
com erro que não excede
.
Prova 4
Problema 1 Seja
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função
e precisamos aproximar a integral dessa função usando a fórmula de quadratura composta de Simpson. Queremos encontrar o menor número inteiro
de subintervalos que garante que o erro dessa aproximação não seja maior que
.
Para resolver isso, vamos utilizar a estimativa de erro da regra de Simpson. Precisaremos calcular a derivada quarta da função
e encontrar seu valor máximo no intervalo de integração. Além disso, precisamos saber os limites de integração
e
. No entanto, como os limites não foram fornecidos no enunciado, vamos assumir que a integral é calculada no intervalo
para prosseguir com a resolução.
Passo 2
Calculando as derivadas de
:
Para a regra de Simpson, precisamos da quarta derivada de
. Vamos calcular passo a passo:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
Passo 3
Encontrando o valor máximo de
no intervalo
:
A derivada quarta é
. Para encontrar o máximo dessa função no intervalo
, observamos que o denominador é menor quando
é menor, ou seja, em
.
Passo 4
Aplicando a estimativa de erro da regra de Simpson:
A fórmula para o erro na regra de Simpson é:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo para
:
Vamos isolar
:
Agora, tiramos a raiz quarta dos dois lados:
Como
deve ser um número inteiro par (pois a regra de Simpson requer um número par de subintervalos), o menor valor inteiro par que satisfaz essa condição é
.
Resposta
O menor número inteiro
necessário é 2.