Ache o ângulo alpha entre os dois planos dados
x-2 y+3 z=4 ;-2 x+2 y-z=3

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o ângulo alpha entre os planos
Pi1:x - 2y + 3z = 4 e
Pi2:-2x + 2y - z = 3.
O conteúdo aqui é cálculo do ângulo entre planos, que se reduz ao ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Para cada plano, extraímos o vetor normal.
Para Pi1,
n1 = (1,,-2,,3)
Para Pi2,
n2 = (-2,,2,,-1)

Passo 3

O ângulo alpha entre os planos é o mesmo ângulo agudo entre n1 e n2, dado por
cos alpha ;=;l|n1!cdot!n2r||n1|,|n2|

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
n1!cdot!n2 =1cdot(-2)+(-2)cdot2+3cdot(-1) =-2-4-3=-9,
|n1|=raiz1^2+(-2)^2+3^2=raiz14, |n2|=raiz(-2)^2+2^2+(-1)^2=3
Portanto,
cos alpha =|-9|raiz14cdot3 =93raiz14 =3raiz14

Passo 5

Finalmente, aplicamos arco-cosseno para obter alpha:
alpha = arccos!l(tfrac3raiz14r)approx 36,87^circ

Resposta

alpha = arccos!l(tfrac3raiz14r)approx 36,87^circ

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