Ache a distância do ponto dado ao plano indicado.
(4,-4,1) ; 2 x+y-z=3

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto (4,-4,1) ao plano dado pela equação 2x+y-z=3. O conteúdo aqui é geometria analítica em 3D e vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação do plano em forma padrão Ax+By+Cz+D=0. Basta subtrair 3 dos dois lados:
2x + y - z - 3 = 0
Dessa forma, os coeficientes são A=2, B=1, C=-1 e D=-3.

Passo 3

A fórmula da distância d do ponto (x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 4

Substituindo A=2, B=1, C=-1, D=-3 e (x0,y0,z0)=(4,-4,1) no numerador, temos
l|2cdot4 + 1cdot(-4) + (-1)cdot1 + (-3)r| = l|8 - 4 - 1 - 3r| = |0| = 0
O denominador seria raiz2^2+1^2+(-1)^2=raiz4+1+1=raiz6, mas como o numerador já é zero, não precisamos mais desse valor.

Passo 5

Como o numerador é zero, a distância é
d = 0raiz6 = 0
Isto significa que o ponto está sobre o plano.

Resposta

A distância é 0.

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