ache , determine onde é contínua e ache , e ache .

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
barF(t) = (cos 2t),bari + (sin 2t),barj + t^3,bark,
e pede:
limtto t0barF(t), onde t0=pi4.
– Determinar onde barF é contínua.
– Calcular barF'(t0).
– Calcular barF''(t0).

Passo 2

Para achar
limtto t0barF(t),
basta avaliar cada componente em t0=pi4:
cos(2t0)=cosl(tfracpi2r)=0,
sin(2t0)=sinl(tfracpi2r)=1,
,t0^3=(tfracpi4)^3=pi^364.

Passo 3

Como cos2t, sin2t e t^3 são funções contínuas em todo R e barF é soma delas, barF é contínua para todo tinR.

Passo 4

Derivando componente a componente,
barF'(t) = (-2sin2t),bari + (2cos2t),barj + (3t^2),bark
Avaliando em t0=tfracpi4:
-2sin(pi/2)=-2,
2cos(pi/2)=0,
3(t0)^2=3(tfracpi4)^2=3pi^216.

Passo 5

Derivando de novo,
barF''(t) = (-4cos2t),bari + (-4sin2t),barj + (6t),bark
Em t0=tfracpi4:
-4cos(pi/2)=0,
-4sin(pi/2)=-4,
6t0=6cdottfracpi4=tfrac3pi2.

Resposta

limtto t0barF(t) =0,bari+1,barj+pi^364,bark
barF é contínua para todo tinR.
barF'(t0) =-2,bari+0,barj+3pi^216,bark
barF''(t0) =0,bari-4,barj+3pi2,bark

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