Ajuste um modelo exponencial a
0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,3
800 975 1.500 1.950 2.900 3.600
Trace os dados e a equação tanto em papel de gráfico padrão quanto logarítmico.

Passo 1

O enunciado pede para ajustar um modelo exponencial da forma
y = A e^B x
aos dados
c|cccccc x & 0,4 & 0,8 & 1,2 & 1,6 & 2 & 2,3hline y & 800 & 975 & 1500 & 1950 & 2900 & 3600
Para isso vamos usar regressão linear em escala logarítmica, isto é, aplicar o ajuste de mínimos quadrados a
ln y = ln A + B x

Passo 2

Transformamos cada par (xi,yi) em (xi,zi) com zi = ln yi e calculamos as somas necessárias:
n&=6, sum xi&=8,3, sum zi&approx44,6174, sum xi^2&approx14,09, sum xi zi&approx63,857
O coeficiente B sai de
B =nsum xi zi - (sum xi)(sum zi) nsum xi^2 - (sum xi)^2 approx6cdot63,857 - 8,3cdot44,61746cdot14,09 - (8,3)^2 approx0,816
Em seguida a média bar x=8,3/6 e bar z=44,6174/6 dão
ln A =bar z - B,bar x approx7,4362 - 0,816cdot1,3833 approx6,3074,
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A = e^6,3074approx548,7

Passo 3

O modelo ajustado fica
y = 548,7,e^0,816,x
Aqui Aapprox548,7 é a estimativa de y em x=0 e Bapprox0,816 é a taxa de crescimento exponencial por unidade de x.

Passo 4

Para traçar em papel de gráfico padrão, marque os pontos (xi,yi) e, em seguida, desenhe a curva y=548,7,e^0,816,x. Você pode gerar pontos intermediários calculando y para vários valores de x e ligar suavemente.

Passo 5

Em papel semilog (eixo x linear e y em escala logarítmica), os dados (xi,yi) aparecem aproximadamente numa reta, pois
ln y = ln(548,7) + 0,816,x
Basta traçar a linha de intercepto ln(548,7)approx6,307 no eixo vertical logaritmado e de declive 0,816. Os pontos originais também cabem numa reta nesse papel.

Resposta

O modelo exponencial ajustado é
y = 548,7,e^0,816,x

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