aproxime a soma de cada série encontrando a soma parcial dos seus primeiros n termos para o valor indicado de n. Também, dê um limite em valor absoluto para o erro envolvido nessa aproximação e determine se a aproximação é por cima ou por baixo.
sumk=1^infty (-1)^k+13 k-1, n=5

Passo 1

O enunciado nos pede para aproximar a soma da série alternada
sumk=1^infty (-1)^k+13k-1
usando a soma parcial de seus primeiros n=5 termos. Precisamos também estimar um limite para o erro absoluto dessa aproximação e dizer se o valor obtido é um excesso (por cima) ou um defeito (por baixo) em relação à soma exata.

Passo 2

Observamos os termos gerais
ak = 13k-1,,
que são positivos, decrescentes (pois 3(k+1)-1>3k-1) e tendem a zero quando ktoinfty. Logo, podemos aplicar o critério de Leibniz para séries alternadas, garantindo convergência e permitindo estimar o erro por
l|S - Snr|<= an+1

Passo 3

Vamos calcular a soma parcial
S5 = sumk=1^5 (-1)^k+13k-1
Listando termo a termo:
k=1colon +tfrac12=0,5
k=2colon -tfrac15=-0,2
k=3colon +tfrac18=0,125
k=4colon -tfrac111approx-0,090909
k=5colon +tfrac114approx0,071429
Somando:
S5 = 0,5 - 0,2 + 0,125 - 0,090909 + 0,071429 approx 0,40552

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, o erro absoluto satisfaz
l|S - S5r|<= a6 = 13cdot6-1 = 117approx 0,05882
Além disso, como n=5 é ímpar e o primeiro termo da série é positivo, a soma parcial S5 fica acima da soma exata S. Ou seja, a aproximação é por cima.

Resposta

Aproximação: S5approx0,40552.
Erro absoluto: l|S - S5r|<=117approx0,05882.
Tipo de aproximação: por cima.

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