Em um artigo, J. Keener [KE] descreveu um método para classificar times. Considere que queiramos classificar N times. Associamos uma pontuação a cada time com base em seus desempenhos uns com os outros e na força de seus oponentes. Suponha que existe um vetor de classificação \mathbf{r} em \mathbb{R}^{N} com elementos positi \operatorname{vos} r_{i} indicando a força do time i. A pontuação para i é dada por
s_{i}=\frac{1}{n_{i}} \sum_{j=1}^{N} a_{i j} r_{j},
em que a_{i j} \geq 0 depende do histórico que o time i tem contra o time j e n_{t} é o número de jogos que o time i jogou. Neste problema, faremos com que a matriz A tenha os elementos
(A)_{i j}=\frac{a_{i j}}{n_{i}}
em que a_{i j} é o número de vezes que o time i ganhou do time j. É razoável supor que a classificação deve ser proporcional à pontuação; ou seja, A \mathbf{r}=\lambda \mathbf{r}, em que \lambda é a constante de proporcionalidade. Como a_{i j} \geq 0 para todo i \mathrm{e} j, 1 \leq i, j \leq N, o Teorema de Perron-Frobenius, discutido no artigo de Keenes, garante a existência um único maior autovalor \lambda_{1}>0, com autovetor \mathbf{r} com elementos positivos que determinam a classificação dos times.
No início da temporada de beisebol de 2014, os times da Divisão Central da Liga Americana tinham o seguinte histórico uns contra os outros:
CHI CLE DET KC MIN
CHI X 7-3 4-5 3-6 2-3
CLE 3-7 X 4-2 3-3 4-3
DET 5-4 2-4 X 6-3 4-4
KC 6-3 3-3 3-6 X 2-4
MIN 3-2 3-4 4-4 4-2 X
O elemento 7-3 indica que em 10 jogos entre CHI e CLE, CHI ganhou 7 e perdeu 3.
a. Encontre a matriz de preferência A.
b. Encontre o polinômio característico de A.
c. Encontre o maior autovalor positivo de A.
d. Resolva o sistema (A-\lambda I) \mathbf{r}=\mathbf{0} para determinar o vetor de classificação \mathbf{r}.
e. Dê a classificação dos times.

Passo 1

Resumindo: queremos usar o Teorema de Perron–Frobenius para construir a matriz de preferência A a partir do histórico de jogos, achar seu polinômio característico, o maior autovalor \lambda_{1} e o autovetor positivo associado \mathbf{r}, e assim obter a classificação dos cinco times da Divisão Central da Liga Americana de beisebol.

Passo 2

(a) Construímos A como
A_{ij}=\frac{a_{ij}}{n_i},
onde a_{ij} é o número de vitórias de i sobre j e n_i é o total de jogos que i disputou. Dos dados:
n_{\rm CHI}=10+9+9+5=33,\quad n_{\rm CLE}=10+6+6+7=29,
n_{\rm DET}=9+6+9+8=32,\quad n_{\rm KC}=9+6+9+6=30,\quad n_{\rm MIN}=5+7+8+6=26.
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A = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{7}{33} & \tfrac{4}{33} & \tfrac{3}{33} & \tfrac{2}{33}\\[6pt] \tfrac{3}{29} & 0 & \tfrac{4}{29} & \tfrac{3}{29} & \tfrac{4}{29}\\[6pt] \tfrac{5}{32} & \tfrac{2}{32} & 0 & \tfrac{6}{32} & \tfrac{4}{32}\\[6pt] \tfrac{6}{30} & \tfrac{3}{30} & \tfrac{3}{30} & 0 & \tfrac{2}{30}\\[6pt] \tfrac{3}{26} & \tfrac{3}{26} & \tfrac{4}{26} & \tfrac{4}{26} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

(b) O polinômio característico de A é
p(\lambda)=\det\!\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\!\begin{pmatrix} -\lambda & \tfrac{7}{33} & \tfrac{4}{33} & \tfrac{3}{33} & \tfrac{2}{33}\\[3pt] \tfrac{3}{29} & -\lambda & \tfrac{4}{29} & \tfrac{3}{29} & \tfrac{4}{29}\\[3pt] \tfrac{5}{32} & \tfrac{2}{32} & -\lambda & \tfrac{6}{32} & \tfrac{4}{32}\\[3pt] \tfrac{6}{30} & \tfrac{3}{30} & \tfrac{3}{30} & -\lambda & \tfrac{2}{30}\\[3pt] \tfrac{3}{26} & \tfrac{3}{26} & \tfrac{4}{26} & \tfrac{4}{26} & -\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 4

(c) Aplicando o método das potências (ou software numérico) obtemos o maior autovalor
\lambda_{1}\approx 0,50\approx\tfrac12.

Passo 5

(d) Para \lambda=\tfrac12 resolvemos (A-\tfrac12I)\mathbf{r}=\mathbf{0} e, impondo por exemplo \sum_i r_i=1{,} achamos numericamente
\mathbf{r}\approx \bigl(.194,\,.197,\,.209,\,.187,\,.213\bigr)^{T},
onde as componentes correspondem a (CHI, CLE, DET, KC, MIN)).

Passo 6

(e) Ordenando do maior para o menor r_i, a classificação final é:
1.º MIN, 2.º DET, 3.º CLE, 4.º CHI, 5.º KC.

Resposta

a. A = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{7}{33} & \tfrac{4}{33} & \tfrac{3}{33} & \tfrac{2}{33}\\[3pt] \tfrac{3}{29} & 0 & \tfrac{4}{29} & \tfrac{3}{29} & \tfrac{4}{29}\\[3pt] \tfrac{5}{32} & \tfrac{2}{32} & 0 & \tfrac{6}{32} & \tfrac{4}{32}\\[3pt] \tfrac{6}{30} & \tfrac{3}{30} & \tfrac{3}{30} & 0 & \tfrac{2}{30}\\[3pt] \tfrac{3}{26} & \tfrac{3}{26} & \tfrac{4}{26} & \tfrac{4}{26} & 0 \end{pmatrix}.
b. p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
c. \displaystyle \lambda_{1}\approx 0,50.
d. \displaystyle \mathbf{r}\approx(.194,.197,.209,.187,.213)^{T}.
e. Classificação: MIN, DET, CLE, CHI, KC.]

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