Em um artigo, J. Keener [KE] descreveu um método para classificar times. Considere que queiramos classificar N times. Associamos uma pontuação a cada time com base em seus desempenhos uns com os outros e na força de seus oponentes. Suponha que existe um vetor de classificação \mathbf{r} em \mathbb{R}^{N} com elementos positi\operatorname{vos} r_{i} indicando a força do time i. A pontuação para i é dada por
em que a_{i j} \geq 0 depende do histórico que o time i tem contra o time j e n_{t} é o número de jogos que o time i jogou. Neste problema, faremos com que a matriz A tenha os elementos
(A)_{i j}=\frac{a_{i j}}{n_{i}}
em que a_{i j} é o número de vezes que o time i ganhou do time j. É razoável supor que a classificação deve ser proporcional à pontuação; ou seja, A \mathbf{r}=\lambda \mathbf{r}, em que \lambda é a constante de proporcionalidade. Como a_{i j} \geq 0 para todo i \mathrm{e} j, 1 \leq i, j \leq N, o Teorema de Perron-Frobenius, discutido no artigo de Keenes, garante a existência um único maior autovalor \lambda_{1}>0, com autovetor \mathbf{r} com elementos positivos que determinam a classificação dos times.
No início da temporada de beisebol de 2014, os times da Divisão Central da Liga Americana tinham o seguinte histórico uns contra os outros:
CHI
CLE
DET
KC
MIN
CHI
X
7-3
4-5
3-6
2-3
CLE
3-7
X
4-2
3-3
4-3
DET
5-4
2-4
X
6-3
4-4
KC
6-3
3-3
3-6
X
2-4
MIN
3-2
3-4
4-4
4-2
X
O elemento 7-3 indica que em 10 jogos entre CHI e CLE, CHI ganhou 7 e perdeu 3.
a. Encontre a matriz de preferência A.
b. Encontre o polinômio característico de A.
c. Encontre o maior autovalor positivo de A.
d. Resolva o sistema (A-\lambda I) \mathbf{r}=\mathbf{0} para determinar o vetor de classificação \mathbf{r}.
e. Dê a classificação dos times.
Passo 1
Resumindo: queremos usar o Teorema de Perron–Frobenius para construir a matriz de preferência A a partir do histórico de jogos, achar seu polinômio característico, o maior autovalor \lambda_{1} e o autovetor positivo associado \mathbf{r}, e assim obter a classificação dos cinco times da Divisão Central da Liga Americana de beisebol.
Passo 2
(a) Construímos A como
A_{ij}=\frac{a_{ij}}{n_i},
onde a_{ij} é o número de vitórias de i sobre j e n_i é o total de jogos que i disputou. Dos dados: