Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
\left[\begin{array}{rrrr}3 & -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 9 & 2 \\\\ 1 & 0 & 2 & 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do círculo de Geršgorin para encontrar limites para (a) os autovalores de
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 1\\\\ -1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 9 & 2\\\\ 1 & 0 & 2 & 9 \end{pmatrix}
e (b) para o raio espectral \rho(A)=\max_i|\lambda_i|. Vamos precisar calcular, para cada linha i, o centro a_{ii} e o raio
R_i = \sum_{j\neq i} |a_{ij}|
e então aplicar o Teorema de Geršgorin.

Passo 2

O Teorema do círculo de Geršgorin afirma que todo valor próprio \lambda de A pertence à união dos discos
D_i = \bigl\{z\in\mathbb{C} : |z - a_{ii}|\le R_i\bigr\},\quad i=1,\dots,n.

Passo 3

Calculemos os raios das quatro linhas:
R_1 = |{-1}|+|0|+|1| = 2,\quad R_2 = |{-1}|+|1|+|0| = 2,\quad R_3 = |0|+|1|+|2| = 3,\quad R_4 = |1|+|0|+|2| = 3.
Logo os discos de Geršgorin são
D_1 = \{z:|z-3|\le2\},\quad D_2 = \{z:|z-3|\le2\},\quad D_3 = \{z:|z-9|\le3\},\quad D_4 = \{z:|z-9|\le3\}.

Passo 4

Como A é simétrica, seus autovalores são reais e ficam nos intervalos reais correspondentes aos discos:
D_1\cap\mathbb R = D_2\cap\mathbb R = [1,5], \quad D_3\cap\mathbb R = D_4\cap\mathbb R = [6,12].
Além disso, D_1 e D_2 estão separadas de D_3 e D_4, de modo que há exatamente dois autovalores em [1,5] e dois em [6,12].

Passo 5

O maior autovalor \lambda_{\max} pertence a [6,12], enquanto o menor \lambda_{\min} pertence a [1,5]. Como todos são não negativos, o raio espectral satisfaz
6 \;\le\;\rho(A)=\lambda_{\max}\;\le\;12.

Resposta

(a) \sigma(A)\subset[1,5]\cup[6,12], com exatamente dois autovalores em [1,5] e dois em [6,12].
(b) 6\le \rho(A)\le 12.

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