Considere os seguintes conjuntos de vetores. (i) Mostre que o conjunto é linearmente independente; (ii) use o processo de Gram-Schmidt para encontrar um conjunto ortogonal de vetores; (iii) determine um conjunto ortonormal de vetores a partir dos vetores em (ii).
Passo 1
O enunciado pede para os vetores
e
:
- mostrar que
é linearmente independente; - aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortogonal;
- normalizar esse conjunto ortogonal para obter um conjunto ortonormal.
Passo 2
Para testar independência linear buscamos
isto é,
gera o sistema
Da primeira equação
, logo
. Como só há solução trivial, o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Aplicando Gram–Schmidt definimos
Calculamos
e
.
Logo
Logo
Verifica-se que
, logo
é ortogonal.
Passo 4
Agora normalizamos
e
.
Definimos o conjunto ortonormal
Resposta
(i) O conjunto
é linearmente independente.
(ii) Um conjunto ortogonal obtido por Gram–Schmidt é
(ii) Um conjunto ortogonal obtido por Gram–Schmidt é
(iii) A partir dele o conjunto ortonormal é