Considere os seguintes conjuntos de vetores. (i) Mostre que o conjunto é linearmente independente; (ii) use o processo de Gram-Schmidt para encontrar um conjunto ortogonal de vetores; (iii) determine um conjunto ortonormal de vetores a partir dos vetores em (ii).
\mathbf{v}_{1}=(1,1)^{t}, \mathbf{v}_{2}=(-2,1)^{t}

Passo 1

O enunciado pede para os vetores \mathbf{v}_1=(1,1)^t e \mathbf{v}_2=(-2,1)^t:
  1. mostrar que \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é linearmente independente;
  2. aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortogonal;
  3. normalizar esse conjunto ortogonal para obter um conjunto ortonormal.

Passo 2

Para testar independência linear buscamos \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha\,\mathbf{v}_1+\beta\,\mathbf{v}_2=\mathbf{0}
isto é,
\alpha(1,1)+\beta(-2,1)=(0,0)
gera o sistema
\begin{cases} \alpha-2\beta=0,\\\ \alpha+\beta=0. \end{cases}
Da primeira equação \alpha=2\beta\]. Substituindo na segunda: \(2\beta+\beta=0\implies3\beta=0\implies\beta=0, logo \alpha=0. Como só há solução trivial, o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt definimos
\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=(1,1)^t,
\mathbf{u}_2=\mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) \quad\text{com}\quad \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) =\frac{\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{u}_1\rangle}{\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\,\mathbf{u}_1.
Calculamos \langle\mathbf{v}_2,\mathbf{u}_1\rangle=(-2)\cdot1+1\cdot1=-1 e \langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle=1^2+1^2=2.
Logo
\mathbf{u}_2 =\bigl(-2,1\bigr)^t-\frac{-1}{2}\,(1,1)^t =\bigl(-2,1\bigr)^t+\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr)^t =\bigl(-\tfrac32,\tfrac32\bigr)^t.
Verifica-se que \langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle=0, logo \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} é ortogonal.

Passo 4

Agora normalizamos \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2.
\|\mathbf{u}_1\|=\sqrt{2},\quad \|\mathbf{u}_2\|=\sqrt{\bigl(-\tfrac32\bigr)^2+\bigl(\tfrac32\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{9}{4}}=\frac{3}{\sqrt2}.
Definimos o conjunto ortonormal
\mathbf{e}_1=\frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} =\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)^t, \quad \mathbf{e}_2=\frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} =\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)^t.

Resposta

(i) O conjunto \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é linearmente independente.
(ii) Um conjunto ortogonal obtido por Gram–Schmidt é
\{\,(1,1)^t,\;(-\tfrac32,\tfrac32)^t\}.
(iii) A partir dele o conjunto ortonormal é
\Bigl\{\;(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2})^t,\;(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2})^t\Bigr\}.

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