28.28 Para um circuito RL simples, a lei da voltagem de Kirchhoff exige que (se a lei de Ohm for válida)
onde
é a corrente,
é a indutância e
é a resistência. Resolva para determinar
, se
, e
. Resolva esse problema analiticamente e com um método numérico. Apresente seus resultados graficamente.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
com
,
e condição inicial
. Precisamos obter a solução analítica e também aplicar um método numérico (por exemplo, Euler explícito), comparando-as graficamente.
Passo 2
Para
a equação fica
Isolando variáveis:
Integramos ambos os lados:
Logo
Como
, temos
, ou seja
Passo 3
Para o método de Euler explícito escolhemos passo de tempo
. A fórmula de iteração é
com
e
. Por exemplo, tomamos
s e calculamos para
s.
Passo 4
Uma possível implementação em Python é:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
h \(=0.1\)
t \(=\) np.arange(\(0\), \(3+\)h, h)
\(i_euler =\) np.\(zeros_like\)(t)
\(i_euler\)[\(0\)] \(=0.5\)
for n in range(len(t)-\(1\)):
\(i_euler\)[n\(+1\)] \(=\) (\(1\) - \(1.5\)*h)*\(i_euler\)[n]
\(i_analitico =0.5\) * np.exp(-\(1.5\) * t)
plt.plot(t, \(i_analitico\), label\(=\)'Analítico')
plt.plot(t, \(i_euler\), 'o', label\(=\)'Euler explícito')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('i (A)')
plt.legend()
plt.show()
O gráfico resultante mostra as curvas praticamente coincidentes, confirmando a precisão do método para
.
Resposta
A solução analítica é
Pelo método de Euler explícito com passo
s obtemos a iteração
cujo gráfico coincide muito bem com a solução analítica no intervalo
s.