28.28 Para um circuito RL simples, a lei da voltagem de Kirchhoff exige que (se a lei de Ohm for válida)
L d id t+R i=0
onde i é a corrente, L é a indutância e R é a resistência. Resolva para determinar i, se L=1, R=1,5, e i(0)=0,5. Resolva esse problema analiticamente e com um método numérico. Apresente seus resultados graficamente.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
L d id t + R,i = 0
com L=1, R=1,5 e condição inicial i(0)=0,5. Precisamos obter a solução analítica e também aplicar um método numérico (por exemplo, Euler explícito), comparando-as graficamente.

Passo 2

Para L=1 a equação fica
d id t + 1,5,i = 0
Isolando variáveis:
1i,d i = -1,5,d t
Integramos ambos os lados:
ln|i| = -1,5,t + C
Logo
i(t) = K,e^-1,5,t
Como i(0)=0,5, temos K=0,5, ou seja
boxedi(t) = 0,5,e^-1,5,t

Passo 3

Para o método de Euler explícito escolhemos passo de tempo h. A fórmula de iteração é
in+1 = in + h;l(-1,5,inr) = (1 - 1,5,h),in,
com i0=0,5 e tn = n,h. Por exemplo, tomamos h=0,1 s e calculamos para tin[0,3] s.

Passo 4

Uma possível implementação em Python é:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

h \(=0.1\)
t \(=\) np.arange(\(0\), \(3+\)h, h)
\(i_euler =\) np.\(zeros_like\)(t)
\(i_euler\)[\(0\)] \(=0.5\)
for n in range(len(t)-\(1\)):
    \(i_euler\)[n\(+1\)] \(=\) (\(1\) - \(1.5\)*h)*\(i_euler\)[n]
\(i_analitico =0.5\) * np.exp(-\(1.5\) * t)

plt.plot(t, \(i_analitico\), label\(=\)'Analítico')
plt.plot(t, \(i_euler\), 'o', label\(=\)'Euler explícito')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('i (A)')
plt.legend()
plt.show()
O gráfico resultante mostra as curvas praticamente coincidentes, confirmando a precisão do método para .

Resposta

A solução analítica é
i(t) = 0,5,e^-1,5,t
Pelo método de Euler explícito com passo h=0,1 s obtemos a iteração
in+1 = (1 - 1,5,h),in, i0=0,5,
cujo gráfico coincide muito bem com a solução analítica no intervalo tin[0,3] s.

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