28.11 Um reator de batelada pode ser descrito pelas seguintes equações:
onde
é a concentração do reagente e
, a temperatura do reator. Inicialmente, o reator está a
e tem uma concentração do reagente
de
. Encontre a concentração e a temperatura do reator como uma função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de EDOs acopladas e não–lineares que descreve um reator de batelada:
com condições iniciais
gmol/L e
C.
O conteúdo é teoria de EDOs não–lineares e método de fator integrante para a equação de .
O conteúdo é teoria de EDOs não–lineares e método de fator integrante para a equação de
Passo 2
Observe que a primeira equação liga
a
, e a segunda liga
a
e
.
Não existe solução em forma fechada com funções elementares; vamos obter a forma integral que define e
implicitamente.
Não existe solução em forma fechada com funções elementares; vamos obter a forma integral que define
Passo 3
Escrevendo a equação de
em forma de separação (mas notando que
é incógnita):
Logo, a solução formal é
Passo 4
A equação de
é linear em
com termo não homogêneo:
Usando fator integrante
, obtemos
Assim,
Passo 5
Como
e
aparecem dentro de integrais recíprocas, implementa-se um método numérico (por ex. Runge–Kutta
ª ordem) para calcular
e
em pontos discretos.
Resposta
As soluções estão dadas de forma integral implícita:
Para obter curvas numéricas
e
, utiliza-se um solver de EDOs (p. ex. ode
ou RK
).