28.11 Um reator de batelada pode ser descrito pelas seguintes equações:
& d Cd t=-e^(-10 /(T+273)) C & d Td t=1000 e^(-10 /(T+273)) C-10(T-20)
onde C é a concentração do reagente e T, a temperatura do reator. Inicialmente, o reator está a 15^circ C e tem uma concentração do reagente C de 1,0 gmol / L. Encontre a concentração e a temperatura do reator como uma função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de EDOs acopladas e não–lineares que descreve um reator de batelada:
dCdt = -e^,-10/(T+273),C, dTdt = 1000,e^,-10/(T+273),C - 10,(T-20),
com condições iniciais C(0)=1,0 gmol/L e T(0)=15 circC.
O conteúdo é teoria de EDOs não–lineares e método de fator integrante para a equação de T.

Passo 2

Observe que a primeira equação liga dot C a T, e a segunda liga dot T a C e T.
Não existe solução em forma fechada com funções elementares; vamos obter a forma integral que define C(t) e T(t) implicitamente.

Passo 3

Escrevendo a equação de C em forma de separação (mas notando que T(t) é incógnita):
dCdt = -k(t),C, onde k(t)=e^-10/(T(t)+273)
Logo, a solução formal é
C(t) = C(0),expl[-!!integral0^tk(tau),dtaur] = expl[-!!integral0^te^-10/(T(tau)+273),dtaur]

Passo 4

A equação de T é linear em T com termo não homogêneo:
dTdt + 10,T = 1000,k(t),C(t) + 200
Usando fator integrante e^10t, obtemos
T(t),e^10t = T(0) + integral0^tl[1000,k(s),C(s)+200r],e^10s,ds
Assim,
T(t) = e^-10t,T(0) + e^-10tintegral0^tl[1000,e^-10/(T(s)+273),C(s)+200r],e^10s,ds

Passo 5

Como C(s) e T(s) aparecem dentro de integrais recíprocas, implementa-se um método numérico (por ex. Runge–Kutta 4ª ordem) para calcular C(t) e T(t) em pontos discretos.

Resposta

As soluções estão dadas de forma integral implícita:
C(t) = expl[-!!integral0^te^-10/(T(tau)+273),dtaur],
T(t) = e^-10t,T(0) + e^-10tintegral0^tl[1000,e^-10/(T(s)+273),C(s)+200r],e^10s,ds
Para obter curvas numéricas C(t) e T(t), utiliza-se um solver de EDOs (p. ex. ode 45 ou RK 4).

Exercícios de Livros Relacionados