28.6 Uma esfera de gelo que tem 6 cm de diâmetro é removida de um congelador a
e é colocada em uma tela de rede à temperatura ambiente
. Qual será o diâmetro da esfera de gelo
como uma função do tempo fora do congelador (supondo que toda a água que derreteu caia imediatamente pela tela)? O coeficiente de transferência de calor
para uma esfera em um quarto sem vento é cerca de
. O fluxo de calor da esfera de gelo para o ar é dado por
onde
é o calor e
é a área da superfície da esfera. Use um método numérico para fazer seus cálculos. Observe que o calor latente de fusão é
e que a densidade do gelo é aproximadamente
.
como uma função do tempo fora do congelador (supondo que toda a água que derreteu caia imediatamente pela tela)? O coeficiente de transferência de calor
Passo 1
O enunciado pede o diâmetro da esfera de gelo em função do tempo quando está a derreter no ar de temperatura ambiente
.
Conteúdo: transferência de calor por convecção até o ponto de fusão (à temperatura constante de ) e balanço de energia para o derretimento. Vamos usar o fluxo convectivo, o calor latente de fusão e a densidade do gelo.
Conteúdo: transferência de calor por convecção até o ponto de fusão (à temperatura constante de
Passo 2
Escrevemos o fluxo de calor por convecção sobre a superfície da esfera:
Aqui
(a esfera fica sempre a
enquanto derrete),
e
. A área da esfera de raio
vale
Passo 3
O calor que entra por unidade de tempo é
Esse calor serve para fundir massa de gelo à taxa
onde
é o calor latente de fusão. A massa do gelo é
, com
. Logo
Passo 4
Igualando as duas expressões para
:
Cancelando
em ambos os lados, obtemos o ODE simples
Passo 5
Integramos
com
. A solução é
onde
(meio de
). O diâmetro é
, isto é
Passo 6
Cálculo numérico de
:
Logo
Resposta
A função do diâmetro em metros é
até o instante em que
chega a zero (cerca de
).