28.6 Uma esfera de gelo que tem 6 cm de diâmetro é removida de um congelador a 0^circ C e é colocada em uma tela de rede à temperatura ambiente Ta=20^circ C. Qual será o diâmetro da esfera de gelo
como uma função do tempo fora do congelador (supondo que toda a água que derreteu caia imediatamente pela tela)? O coeficiente de transferência de calor h para uma esfera em um quarto sem vento é cerca de 3 W /(m^2 cdot K). O fluxo de calor da esfera de gelo para o ar é dado por
Fluxo =qA=h(Ta-T)
onde q é o calor e A é a área da superfície da esfera. Use um método numérico para fazer seus cálculos. Observe que o calor latente de fusão é 333 kJ / kg e que a densidade do gelo é aproximadamente 0,917 kg / m^3.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro da esfera de gelo em função do tempo quando está a derreter no ar de temperatura ambiente Ta=20^circC.
Conteúdo: transferência de calor por convecção até o ponto de fusão (à temperatura constante de 0^circC) e balanço de energia para o derretimento. Vamos usar o fluxo convectivo, o calor latente de fusão e a densidade do gelo.

Passo 2

Escrevemos o fluxo de calor por convecção sobre a superfície da esfera:
qA=hl(Ta-Tr)
Aqui T=0^circC (a esfera fica sempre a 0^circC enquanto derrete), h=3,W/(m^2cdot K) e Ta-T=20,K. A área da esfera de raio r vale
A=4pi r^2

Passo 3

O calor que entra por unidade de tempo é
dot q = h,A,(Ta-T)
Esse calor serve para fundir massa de gelo à taxa
dot m = -dot qLf,
onde Lf=333times10^3,J/kg é o calor latente de fusão. A massa do gelo é m=rho V=rho,(4/3)pi r^3, com rho=917,kg/m^3. Logo
dot m = ddtl(rhotfrac43pi r^3r) = rho,4pi r^2,dot r

Passo 4

Igualando as duas expressões para dot m:
rho,4pi r^2,dot r ;=; -h,4pi r^2,(Ta-T)Lf
Cancelando 4pi r^2 em ambos os lados, obtemos o ODE simples
dot r = -h,(Ta-T)rho,Lf =constante

Passo 5

Integramos dot r=tfracdrdt=-k com k=h,(Ta-T)rho,Lf. A solução é
r(t)=r0 - k,t,
onde r0=0,03,m (meio de 6,cm). O diâmetro é d(t)=2r(t), isto é
d(t)=d0 - 2k,t

Passo 6

Cálculo numérico de k:
k = 3 cdot 20917 cdot 333 times 10^3 approx 1,96 times 10^-7 , m/s
Logo
2k approx 3,92 times 10^-7 , m/s

Resposta

A função do diâmetro em metros é
boxedd(t)=0,06 - 3,92times10^-7,t, t em segundos,
até o instante em que d(t) chega a zero (cerca de 1,5times10^5:s).

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