28.20 O Isle Royale National Park é um arquipélago de 210 milhas quadradas composto por uma única ilha grande e por muitas ilhas pequenas no Lago Superior. Os alces chegaram em torno de 1900 e, por volta de 1930, sua população se aproximou de 3.000, destruindo a vegetação. Em 1949, lobos cruzaram uma ponte de gelo a partir de Ontário. A partir do final da década de 50, o número de alces e de lobos foi monitorado. (Um traço indica que não há dados.)
Ano Alces Lobos Ano Alces Lobos
1960 700 22 1972 836 23
1961 - 22 1973 802 24
1962 - 23 1974 815 30
1963 - 20 1975 778 41
1964 - 25 1976 641 43
1965 - 28 1977 507 33
1966 881 24 1978 543 40
1967 - 22 1979 675 42
1968 1000 22 1980 577 50
1969 1150 17 1981 570 30
1970 966 18 1982 590 13
1971 674 20 1983 811 23
(a) Integre as equações de Lotka-Volterra de 1960 até 2020. Determine os valores dos coeficientes que fornecem um ajuste ótimo. Compare sua simulação com os dados usando uma abordagem por série temporal e comente seus resultados.
(b) Trace a simulação da parte (a), mas use uma abordagem no espaço de estados.
(c) Depois de 1993, suponha que os administradores da vida selvagem consigam capturar um lobo por ano e transporte-o para fora da ilha. Faça uma previsão de como a população de lobos e alces iria evoluir até 2020. Apresente seus resultados tanto em gráfico de séries temporais quanto no espaço de estados. Para esse caso, bem como para (d), use os seguintes coeficientes: .
(d) Suponha que em 1993, algum caçador conseguiu entrar na ilha e matou dos alces. Faça uma previsão de como a população tanto dos lobos quanto dos alces iria evoluir até o ano de 2020. Apresente seus resultados tanto em gráfico de séries temporais quanto no espaço de estados.

Passo 1

Resumindo, o problema pede quatro coisas principais aplicando o modelo de Lotka–Volterra às populações de alces (
de modo que a solução nos alces, simular de novo com os mesmos coeficientes e mostrar os dois tipos de gráfico até 2020.
Conteúdo matemático necessário:
  1. Integração numérica de EDOs (por ex. Runge–Kutta).
  2. Estimação de parâmetros por mínimos quadrados não lineares (ou algoritmo de Levenberg–Marquardt).
  3. Formulação de espaço de estados e filtro de Kalman estendido.
  4. Implementação de eventos discretos (remoção anual de lobos, corte instantâneo de alces).

Passo 2

Abordagem por série temporal (parte a):
  1. Defina as observações anuais (ti,xi^obs,yi^obs)i=1^N, com t1=1960, tN=1983.
  2. Escolha um integrador (por ex. Runge–Kutta de 4ª ordem) para resolver o sistema de EDOs de Lotka–Volterra dado um conjunto de parâmetros theta=(a,b,c,d) e condições iniciais (x(1960),y(1960)).
  3. Defina a função de custo como soma dos erros quadráticos
J(theta)=sumi=1^Nl[x(ti;theta)-xi^obsr]^2 +sumi=1^Nl[y(ti;theta)-yi^obsr]^2
  1. Use um otimizador não linear (por ex. Levenberg–Marquardt ou Nelder–Mead) para encontrar
    theta^*=argmin J(theta).
  2. Com theta^* em mãos, integre de 1960 a 2020 para comparar a série simulada com os pontos observados (1960–1983) e comentar desvios após 1983.

Passo 3

Formulação em espaço de estados (parte b):
  1. Escreva o modelo contínuo como um sistema de estados
x=(x,y)^top, dotx = f(x,theta),
e as medições anuais
zi = H,x(ti) + varepsiloni,
onde H=Id2times2 e varepsiloni é ruído de medição.
2. Use um filtro de Kalman Estendido (EKF) ou Filtro de Partículas para estimar simultaneamente o estado x(ti) e, se desejar, refinar theta.
3. Compare as estimativas de x(ti) com as observações e com a solução da parte (a). Discuta ganhos de precisão e robustez a ruído.

Passo 4

Simulação com remoção anual de 1 lobo a partir de 1993 (parte c):
  1. A partir de t=1960 até t=1993, use o mesmo integrador e parâmetros
a=0,3, b=0,01111, c=0,2106, d=0,0002632
  1. Em cada instante t=1994,1995,dots,2020, subtraia 1 unidade de y(t) logo após a integração de cada ano.
  2. Plote x(t) e y(t) em função do tempo (séries temporais) e no plano de fase (x,y).

Passo 5

Simulação com redução instantânea de 50% dos alces em 1993 (parte d):
  1. Integre de 1960 até 1993 normalmente.
  2. Em t=1993, imponha o evento
x(1993^+) = 0,5,x(1993^-), y(1993^+)=y(1993^-)
  1. Continue a integração de 1993 até 2020 com os mesmos parâmetros.
  2. Novamente, trace séries temporais e o espaço de estados (x,y).

Resposta

Este problema só pode ser efetivamente resolvido por meio de software numérico (por ex. MATLAB, Python/SciPy ou R), pois envolve:
– Integração de EDOs não lineares,
– Otimização não linear de parâmetros,
– Implementação de filtros de estado,
– Tratamento de eventos discretos.
Sem executar esse código, não é possível fornecer valores numéricos finais dos parâmetros nem gerar os gráficos solicitados. Implementando os passos acima em ambiente computacional, obtêm-se tanto os coeficientes ótimos em (a), quanto as trajetórias para (b), (c) e (d).

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