28.20 O Isle Royale National Park é um arquipélago de 210 milhas quadradas composto por uma única ilha grande e por muitas ilhas pequenas no Lago Superior. Os alces chegaram em torno de 1900 e, por volta de 1930, sua população se aproximou de 3.000, destruindo a vegetação. Em 1949, lobos cruzaram uma ponte de gelo a partir de Ontário. A partir do final da década de 50, o número de alces e de lobos foi monitorado. (Um traço indica que não há dados.)
Ano
Alces
Lobos
Ano
Alces
Lobos
1960
700
22
1972
836
23
1961
-
22
1973
802
24
1962
-
23
1974
815
30
1963
-
20
1975
778
41
1964
-
25
1976
641
43
1965
-
28
1977
507
33
1966
881
24
1978
543
40
1967
-
22
1979
675
42
1968
1000
22
1980
577
50
1969
1150
17
1981
570
30
1970
966
18
1982
590
13
1971
674
20
1983
811
23
(a) Integre as equações de Lotka-Volterra de 1960 até 2020. Determine os valores dos coeficientes que fornecem um ajuste ótimo. Compare sua simulação com os dados usando uma abordagem por série temporal e comente seus resultados.
(b) Trace a simulação da parte (a), mas use uma abordagem no espaço de estados.
(c) Depois de 1993, suponha que os administradores da vida selvagem consigam capturar um lobo por ano e transporte-o para fora da ilha. Faça uma previsão de como a população de lobos e alces iria evoluir até 2020. Apresente seus resultados tanto em gráfico de séries temporais quanto no espaço de estados. Para esse caso, bem como para (d), use os seguintes coeficientes:
.
(d) Suponha que em 1993, algum caçador conseguiu entrar na ilha e matou
dos alces. Faça uma previsão de como a população tanto dos lobos quanto dos alces iria evoluir até o ano de 2020. Apresente seus resultados tanto em gráfico de séries temporais quanto no espaço de estados.
Ano | Alces | Lobos | Ano | Alces | Lobos |
1960 | 700 | 22 | 1972 | 836 | 23 |
1961 | - | 22 | 1973 | 802 | 24 |
1962 | - | 23 | 1974 | 815 | 30 |
1963 | - | 20 | 1975 | 778 | 41 |
1964 | - | 25 | 1976 | 641 | 43 |
1965 | - | 28 | 1977 | 507 | 33 |
1966 | 881 | 24 | 1978 | 543 | 40 |
1967 | - | 22 | 1979 | 675 | 42 |
1968 | 1000 | 22 | 1980 | 577 | 50 |
1969 | 1150 | 17 | 1981 | 570 | 30 |
1970 | 966 | 18 | 1982 | 590 | 13 |
1971 | 674 | 20 | 1983 | 811 | 23 |
(b) Trace a simulação da parte (a), mas use uma abordagem no espaço de estados.
(c) Depois de 1993, suponha que os administradores da vida selvagem consigam capturar um lobo por ano e transporte-o para fora da ilha. Faça uma previsão de como a população de lobos e alces iria evoluir até 2020. Apresente seus resultados tanto em gráfico de séries temporais quanto no espaço de estados. Para esse caso, bem como para (d), use os seguintes coeficientes:
(d) Suponha que em 1993, algum caçador conseguiu entrar na ilha e matou
Passo 1
Resumindo, o problema pede quatro coisas principais aplicando o modelo de Lotka–Volterra às populações de alces (
de modo que a solução nos alces, simular de novo com os mesmos coeficientes e mostrar os dois tipos de gráfico até 2020.
Conteúdo matemático necessário:
- Integração numérica de EDOs (por ex. Runge–Kutta).
- Estimação de parâmetros por mínimos quadrados não lineares (ou algoritmo de Levenberg–Marquardt).
- Formulação de espaço de estados e filtro de Kalman estendido.
- Implementação de eventos discretos (remoção anual de lobos, corte instantâneo de alces).
Passo 2
Abordagem por série temporal (parte a):
- Defina as observações anuais
, com , . - Escolha um integrador (por ex. Runge–Kutta de 4ª ordem) para resolver o sistema de EDOs de Lotka–Volterra dado um conjunto de parâmetros
e condições iniciais . - Defina a função de custo como soma dos erros quadráticos
- Use um otimizador não linear (por ex. Levenberg–Marquardt ou Nelder–Mead) para encontrar
. - Com
em mãos, integre de 1960 a 2020 para comparar a série simulada com os pontos observados (1960–1983) e comentar desvios após 1983.
Passo 3
Formulação em espaço de estados (parte b):
- Escreva o modelo contínuo como um sistema de estados
e as medições anuais
onde
e
é ruído de medição.
2. Use um filtro de Kalman Estendido (EKF) ou Filtro de Partículas para estimar simultaneamente o estado e, se desejar, refinar
.
3. Compare as estimativas de com as observações e com a solução da parte (a). Discuta ganhos de precisão e robustez a ruído.
2. Use um filtro de Kalman Estendido (EKF) ou Filtro de Partículas para estimar simultaneamente o estado
3. Compare as estimativas de
Passo 4
Simulação com remoção anual de 1 lobo a partir de 1993 (parte c):
- A partir de
até , use o mesmo integrador e parâmetros
- Em cada instante
, subtraia unidade de logo após a integração de cada ano. - Plote
e em função do tempo (séries temporais) e no plano de fase .
Passo 5
Simulação com redução instantânea de
dos alces em 1993 (parte d):
- Integre de 1960 até 1993 normalmente.
- Em
, imponha o evento
- Continue a integração de 1993 até 2020 com os mesmos parâmetros.
- Novamente, trace séries temporais e o espaço de estados
.
Resposta
Este problema só pode ser efetivamente resolvido por meio de software numérico (por ex. MATLAB, Python/SciPy ou R), pois envolve:
– Integração de EDOs não lineares,
– Otimização não linear de parâmetros,
– Implementação de filtros de estado,
– Tratamento de eventos discretos.
– Integração de EDOs não lineares,
– Otimização não linear de parâmetros,
– Implementação de filtros de estado,
– Tratamento de eventos discretos.
Sem executar esse código, não é possível fornecer valores numéricos finais dos parâmetros nem gerar os gráficos solicitados. Implementando os passos acima em ambiente computacional, obtêm-se tanto os coeficientes ótimos em (a), quanto as trajetórias para (b), (c) e (d).