9.7 Dadas as equações
0,5 x1-x2=-9,5
1,02 x1-2 x2=-18,8
(a) Resolva graficamente.
(b) Calcule o determinante.
(c) Com base em (a) e (b), o que você espera em relação ao condicionamento do sistema?
(d) Resolva por eliminação de variáveis.
(e) Resolva novamente com a11 levemente modificado para 0,52 . Interprete seus resultados.

Passo 1

O enunciado apresenta o seguinte sistema linear de duas equações com incógnitas x1 e x2:
0,5,x1-x2=-9,5
1,02,x1-2,x2=-18,8
O conteúdo é resolução gráfica e analítica de sistemas lineares e análise de condicionamento.

Passo 2

Resolução gráfica: escrevemos cada equação na forma x2=m,x1+b.
Da primeira equação:
0,5x1-x2=-9,5implies x2=0,5x1+9,5
Da segunda:
1,02x1-2x2=-18,8implies x2=0,51x1+9,4
No gráfico, a solução é a interseção dessas retas, obtida igualando os dois x2:
0,5x1+9,5=0,51x1+9,4
0,1=0,01x1implies x1=10
Substituindo em x2=0,5x1+9,5 x2=14,5.

Passo 3

Cálculo do determinante da matriz de coeficientes:
det0,5 & -11,02 & -2 =0,5times(-2)-(-1)times1,02=-1+1,02=0,02

Passo 4

Como det=0,02 é muito pequeno, as retas são quase paralelas e o sistema é mal condicionado, ou seja, pequenas perturbações nos coeficientes produzem grandes variações na solução.

Passo 5

Resolução por eliminação: multiplicamos a primeira equação por 2:
1,0x1-2x2=-19
Subtraindo a segunda equação 1,02x1-2x2=-18,8:
-0,02x1=-0,2implies x1=10
Depois,
0,5cdot10-x2=-9,5implies x2=14,5

Passo 6

Perturbamos a11 para 0,52: nova primeira equação 0,52x1-x2=-9,5. Multiplicando por 2:
1,04x1-2x2=-19
Subtraindo 1,02x1-2x2=-18,8
0,02x1=-0,2implies x1=-10,
e em seguida 0,52cdot(-10)-x2=-9,5implies x2=4,3
A solução muda drasticamente, confirmando o mau condicionamento.

Resposta

(a) Pela interseção gráfica (10;14,5).
(b) det=0,02.
(c) O sistema é mal condicionado (retas quase paralelas).
(d) x1=10, x2=14,5.
(e) Com a11=0,52 obtém-se (-10;4,3), mostrando sensibilidade aos coeficientes.

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