Considere os dados
28,65 26,55 26,65 27,65 27,35 28,35 26,85
28,65 29,65 27,85 27,05 28,25 28,85 26,75
27,65 28,45 28,65 28,45 31,65 26,35 27,75
29,25 27,65 28,65 27,65 28,55 27,65 27,25
Determine (a) a média, (b) o desvio padrão, (c) a variância, (d) o coeficiente de variação e (e) o intervalo de confiança de para a média. (f) Construa um histograma. Use um intervalo de 26 a 32 com incrementos de 0,5. (g) Supondo que a distribuição seja normale que sua estimativa do desvio padrão seja válida, calcule o intervalo (isto é, as extremidades inferior e superior) que englobe das leituras. Determine se essa é uma estimativa válida para os dados desse problema.

Passo 1

Temos uma amostra de n=28 leituras que variam entre aproximadamente 26,35 e 31,65. O enunciado pede:
(a) a média amostral,
(b) o desvio-padrão amostral,
(c) a variância amostral,
(d) o coeficiente de variação,
(e) o intervalo de confiança de 90% para a média (usando t de Student),
(f) um histograma no intervalo de 26 a 32 com classes de largura 0,5,
(g) supondo distribuição normal com o desvio-padrão estimado, o intervalo que engloba 68% das leituras e se isso é válido.

Passo 2

Calcular a média amostral bar x. Temos
sumi=1^28 xi = 784,70
logo
bar x = 128sumi=1^28xi = 784,7028 = 28,025

Passo 3

Calcular a variância e o desvio-padrão amostrais. Primeiro obtivemos
sumi=1^28xi^2 = 22024,23
A variância amostral é
s^2 = 1n-1l(sumi=1^28xi^2 - (sumi=1^28xi)^2nr) = 127l(22024,23 - 21991,2175r) approx 1,223
O desvio-padrão é
s = raizs^2approx raiz1,223approx 1,105

Passo 4

O coeficiente de variação ( CV) é dado por
CV = sbar xtimes 100%approx 1,10528,025times100%approx 3,94%

Passo 5

Para construir o intervalo de confiança de 90% para bar x usamos t0,95 com 27 graus de liberdade ( approx1,703). O erro padrão da média é
SE = sraizn = 1,105raiz28approx 0,209
A margem de erro é
E = t0,95,SE approx 1,703times0,209 approx 0,356
Logo o intervalo é
l[,bar x - E,;bar x + Er] = [,28,025 - 0,356,;28,025 + 0,356,] = [,27,669,;28,381,]

Passo 6

Para o histograma com classes de largura 0,5 entre 26 e 32 contamos as observações em cada classe. As frequências são
l|c Classe & Frequênciahline [26,0,;26,5) & 1 [26,5,;27,0) & 4 [27,0,;27,5) & 3 [27,5,;28,0) & 7 [28,0,;28,5) & 4 [28,5,;29,0) & 6 [29,0,;29,5) & 1 [29,5,;30,0) & 1 [30,0,;30,5) & 0 [30,5,;31,0) & 0 [31,0,;31,5) & 0 [31,5,;32,0) & 1 ê

Passo 7

Assumindo normalidade, o intervalo que engloba 68% é aproximadamente bar xpm s, ou seja
[,28,025 - 1,105,;28,025 + 1,105,] = [,26,920,;29,130,]
Contando as 28 observações nesse intervalo, encontramos 20 pontos ( approx71,4%), o que é próximo de 68%. A estimativa é razoável, mas reflete que nossa amostra é um pouco mais concentrada no centro do que a normal exata.

Resposta

(a) barx = 28,025.
(b) s approx 1,105.
(c) s^2 approx 1,223.
(d) CV approx 3,94%.
(e) 90%,IC para mu: [27,669,;28,381].
(f) Histograma com classes de 0,5 e frequências conforme array acima.
(g) Intervalo barxpm s = [26,920,;29,130], que engloba cerca de 71,4% das leituras, razoavelmente próximo de 68%.

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