Use regressão por mínimos quadrados para ajustar uma reta a
6 7 11 15 17 21 23 29 29 37 39
29 21 29 14 21 15 7 7 13 0 3
Junto com a inclinação e a intersecção com o eixo , calcule o erro padrão da estimativa e o coeficiente de correlação. Faça um gráfico dos dados e da reta de regressão. Se alguém fizesse uma medida adicional de , você suspeitaria, com base em uma avaliação visual e no erro padrão, que a medida é válida ou não? Justifique sua conclusão.

Passo 1

O enunciado pede para ajustar, por mínimos quadrados, uma reta aos pares de dados (xi,yi) abaixo, encontrando a inclinação e a interseção com o eixo y, o erro padrão da estimativa e o coeficiente de correlação. Em seguida, devemos fazer um gráfico dos dados e da reta ajustada e avaliar se um possível ponto adicional (10,10) parece consistente com o ajuste obtido. Para isso vamos precisar calcular somas, médias, variâncias e covariância dos dados.

Passo 2

Calculemos as estatísticas sumárias:
n=11,
sum xi=234, sum yi=159,
sum xi^2=6262, sum yi^2=3261,
sum xi yi=2380.
Dessa forma
bar x=23411approx21,27, bar y=15911approx14,45

Passo 3

A inclinação b1 e a interseção b0 da reta
hat y = b0 + b1 x
são dadas por
b1 =nsum xi yi - (sum xi)(sum yi) ,nsum xi^2 - (sum xi)^2, =11cdot2380 - 234cdot15911cdot6262 - 234^2 approx -0,781,
b0 =bar y - b1,bar x approx14,45 - (-0,781)cdot21,27 approx31,07

Passo 4

O erro padrão da estimativa é
se =raizsum(yi-hat yi)^2,n-2, =raizSST-SSR,n-2,,
onde
SST =sum(yi-bar y)^2 =sum yi^2 - (sum yi)^2n approx962,73,
SSR =b1l(sum xi yi - sum xi,sum yinr) approx782,75
Logo
SSE=SST-SSRapprox180,0, se=raiz180,011-2approx4,47

Passo 5

O coeficiente de correlação linear é
r =sum xi yi - sum xi,sum yin raizl(sum xi^2 - (sum xi)^2nr) l(sum yi^2 - (sum yi)^2nr) approx-0,90,
indicando forte correlação negativa.

Passo 6

O gráfico é um diagrama de dispersão dos pontos (xi,yi) e a reta
hat y =31,07 -0,781,x
Visualmente nota-se que a reta decresce e passa próximo da nuvem de pontos, conforme o rapprox-0,90.

Passo 7

Para x=10 a reta prevê
hat y(10)=31,07 -0,781cdot10approx23,26
O valor observado y=10 está a
10 - 23,26 = -13,26
unidades da reta, ou seja, cerca de
13,264,47approx2,97 vezes o erro padrão. Esse desvio tão grande (quase 3se) torna o ponto (10,10) bastante atípico e passa a ser suspeito de erro de medida.

Resposta

Inclinação b1approx-0,781
Interseção b0approx31,07
Erro padrão da estimativa seapprox4,47
Coeficiente de correlação rapprox-0,90
O ponto (10,10) fica a quase 3 desvios-padrão da reta e, portanto, parece um outlier—suspeita-se que não seja confiável.

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