Considere o seguinte problema de otimização não-linear com restrições:
Minimize f(x, y)=(x-3)^2+(y-3)^2
sujeito a
x+2 y=4
(a) Use uma abordagem gráfica para fazer uma estimativa da solução.
(b) Use um pacote ou biblioteca de software (por exemplo, o Excel) para obter uma estimativa mais acurada.

Passo 1

A questão trata de otimização não-linear com restrição. Queremos minimizar
f(x,y) = (x-3)^2 + (y-3)^2
sujeito à reta
x + 2y = 4
O que precisamos: (a) entender graficamente como as curvas-nível de f (círculos centrados em (3,3)) interagem com a reta; (b) usar um solver (por exemplo, Excel Solver) para obter o par (x,y) que de fato minimiza f sob a restrição.

Passo 2

Interpretação gráfica: as curvas-nível de f são círculos de raio crescente centrados em (3,3). A reta x+2y=4 é fixa. O ponto que minimiza f é aquele em que um dos círculos “tange” a reta mais próximo de (3,3). Desenhando algumas circunferências ao redor de (3,3) até que ela intercepte a reta vemos que o ponto de tangência ocorre aproximadamente em
(x,y)approx(2,1)

Passo 3

Para afinar a solução analiticamente, escrevemos a restrição como
y = 4 - x2
e definimos a função unidimensional
h(x) = (x-3)^2 + l(tfrac4 - x2 - 3r)^2

Passo 4

Calculamos a derivada de h e igualamos a zero:
h'(x) = 2(x-3) + 2l(tfrac4 - x2 - 3r)cdotl(-tfrac12r) = 2(x-3) - l(tfrac4 - x2 - 3r) = 2x-6 - tfrac4 - x -62 = 2x-6 - tfrac-x-22 = 2x-6 + tfracx+22
Colocando sobre denominador comum e igualando a zero:
4x -12 + x +22 = 0 Longrightarrow 5x -10 = 0 Longrightarrow x = 2
Substituindo na reta,
y = tfrac4 - 22 = 1

Passo 5

No Excel Solver (ou em qualquer outro pacote), definimos as variáveis x e y, colocamos a restrição x+2y=4 e minimizamos f(x,y). O resultado coincide com a solução analítica:
(x,y) = (2,1)

Resposta

(a) Pela abordagem gráfica, a estimativa é (2,1).
(b) Usando software (por exemplo, Excel Solver), obtemos a solução mais precisa (x,y)=(2,1).

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