Considere o seguinte problema de otimização não-linear com restrições:
Minimize
sujeito a
(a) Use uma abordagem gráfica para fazer uma estimativa da solução.
(b) Use um pacote ou biblioteca de software (por exemplo, o Excel) para obter uma estimativa mais acurada.
sujeito a
(b) Use um pacote ou biblioteca de software (por exemplo, o Excel) para obter uma estimativa mais acurada.
Passo 1
A questão trata de otimização não-linear com restrição. Queremos minimizar
sujeito à reta
O que precisamos: (a) entender graficamente como as curvas-nível de
(círculos centrados em
) interagem com a reta; (b) usar um solver (por exemplo, Excel Solver) para obter o par
que de fato minimiza
sob a restrição.
Passo 2
Interpretação gráfica: as curvas-nível de
são círculos de raio crescente centrados em
. A reta
é fixa. O ponto que minimiza
é aquele em que um dos círculos “tange” a reta mais próximo de
. Desenhando algumas circunferências ao redor de
até que ela intercepte a reta vemos que o ponto de tangência ocorre aproximadamente em
Passo 3
Para afinar a solução analiticamente, escrevemos a restrição como
e definimos a função unidimensional
Passo 4
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Colocando sobre denominador comum e igualando a zero:
Substituindo na reta,
Passo 5
No Excel Solver (ou em qualquer outro pacote), definimos as variáveis
e
, colocamos a restrição
e minimizamos
. O resultado coincide com a solução analítica:
Resposta
(a) Pela abordagem gráfica, a estimativa é
.
(b) Usando software (por exemplo, Excel Solver), obtemos a solução mais precisa .
(b) Usando software (por exemplo, Excel Solver), obtemos a solução mais precisa