Uma companhia faz dois tipos de produto, A e B. Esses produtos são fabricados durante 40 horas de trabalho por semana e, então, despachados no final da semana. Eles vão requerer, respectivamente, 20 e 5 kg de matéria-prima para cada quilo de produto, e a companhia dispõe de 9.500 kg de matéria-prima por semana. Apenas um produto pode ser fabricado por vez, com o tempo de produção para cada um de 0,04 e 0,12 hora, respectivamente. A fábrica pode armazenar apenas 550 kg de produto total por semana. Finalmente, a companhia tem lucro de 45 $20$ em cada unidade de A e B, respectivamente. Cada unidade de produto é equivalente a um quilo.
(a) Escreva um problema de programação linear para maximizar o lucro.
(b) Resolva o problema de programação linear graficamente.
(c) Resolva o problema de programação linear pelo método simplex.
(d) Resolva o problema com um pacote de software.
(e) Avalie qual das seguintes opções aumentará mais os lucros: aumentar a quantidade de matéria-prima, a capacidade de armazenamento, ou aumentar o tempo de produção.

Passo 1

O enunciado pede para decidir quantos quilos de produto A e B fabricar (variáveis x e y) de modo a maximizar o lucro semanal de $45 por quilo de A e $20 por quilo de B, sujeitando-se a:
1. Tempo de produção limitado a 40 h/semana, com 0,04 h por kg de A e 0,12 h por kg de B.
2. Matéria-prima de 9500 kg/semana, com 20 kg de matéria-prima por kg de A e 5 kg por kg de B.
3. Capacidade de estocar até 550 kg de produto total.
O conteúdo é modelagem em programação linear, solução gráfica e método simplex, além de análise de preços sombra para decidir qual recurso expandir.

Passo 2

Definimos x =kg de A e y =kg de B. O modelo é:
Maximize Z = 45x + 20y
sujeito a
0,04x + 0,12y <= 40, 20x + 5y <= 9500, x + y <= 550, x >= 0,; y >= 0

Passo 3

Pela solução gráfica, encontramos os vértices factíveis:
  • Eixo y=0: interseção com 20x<=9500 (475,0).
  • Interseção de 20x+5y=9500 e x+y=550 (450,100).
  • Interseção de 0,04x+0,12y=40 e x+y=550 (325,225).
  • Eixo x=0: interseção com 0,12y<=40 (0,333,33).
Calculando Z em cada ponto:
Z(475,0)&=45cdot475=21375, Z(450,100)&=45cdot450+20cdot100=20250+2000=22250, Z(325,225)&=45cdot325+20cdot225=14625+4500=19125, Z(0,333,33)&=20cdot333,33approx6666,67
O maior lucro é $22250 em (x,y)=(450,100).

Passo 4

Pelo método simplex, introduzimos folgas
Montando a tabela inicial e pivoteando primeiro pela coluna ), depois pela coluna (sai ), obtém-se a solução básica ótima:
com folga h e . Na linha , os coeficientes de e (preços sombra) são e .

Passo 5

Os preços sombra indicam o ganho adicional por unidade extra de recurso:
  • Matéria-prima ( s2): $1,6667 por kg.
  • Estoque ( s3): $11,6667 por kg.
  • Tempo ( s1): preço sombra zero (não está no limite).
Logo, ampliar a capacidade de armazenamento traz o maior aumento de lucro.

Resposta

(a) Modelo:
max Z=45x+20y
0,04x+0,12y<=40, 20x+5y<=9500, x+y<=550, x,y>=0
(b) Pela gráfica, ótimo em (x,y)=(450,100) com lucro $22250.
(c) Pelo simplex, solução ótima x=450, y=100, Z=22250.
(d) Por software, obtém-se a mesma solução: x=450, y=100, Z=22250.
(e) Aumentar a capacidade de armazenamento (preço sombra $11,6667) é a melhor opção.

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