Uma companhia faz dois tipos de produto, A e B. Esses produtos são fabricados durante 40 horas de trabalho por semana e, então, despachados no final da semana. Eles vão requerer, respectivamente, 20 e 5 kg de matéria-prima para cada quilo de produto, e a companhia dispõe de 9.500 kg de matéria-prima por semana. Apenas um produto pode ser fabricado por vez, com o tempo de produção para cada um de 0,04 e 0,12 hora, respectivamente. A fábrica pode armazenar apenas 550 kg de produto total por semana. Finalmente, a companhia tem lucro de 45$20$ em cada unidade de A e B, respectivamente. Cada unidade de produto é equivalente a um quilo.
(a) Escreva um problema de programação linear para maximizar o lucro.
(b) Resolva o problema de programação linear graficamente.
(c) Resolva o problema de programação linear pelo método simplex.
(d) Resolva o problema com um pacote de software.
(e) Avalie qual das seguintes opções aumentará mais os lucros: aumentar a quantidade de matéria-prima, a capacidade de armazenamento, ou aumentar o tempo de produção.
Passo 1
O enunciado pede para decidir quantos quilos de produto A e B fabricar (variáveis e ) de modo a maximizar o lucro semanal de por quilo de A e por quilo de B, sujeitando-se a: . Tempo de produção limitado a h/semana, com h por kg de A e h por kg de B. . Matéria-prima de kg/semana, com kg de matéria-prima por kg de A e kg por kg de B. . Capacidade de estocar até kg de produto total.
O conteúdo é modelagem em programação linear, solução gráfica e método simplex, além de análise de preços sombra para decidir qual recurso expandir.
Passo 2
Definimos kg de A e kg de B. O modelo é:
sujeito a
Passo 3
Pela solução gráfica, encontramos os vértices factíveis:
Eixo y=0: interseção com 20x<=9500 dá (475,0).
Interseção de 20x+5y=9500 e x+y=550 dá (450,100).
Interseção de 0,04x+0,12y=40 e x+y=550 dá (325,225).
Montando a tabela inicial e pivoteando primeiro pela coluna ), depois pela coluna (sai ), obtém-se a solução básica ótima:
com folga h e . Na linha , os coeficientes de e (preços sombra) são e .
Passo 5
Os preços sombra indicam o ganho adicional por unidade extra de recurso:
Matéria-prima (s2): $1,6667 por kg.
Estoque (s3): $11,6667 por kg.
Tempo (s1): preço sombra zero (não está no limite).
Logo, ampliar a capacidade de armazenamento traz o maior aumento de lucro.
Resposta
(a) Modelo:
max Z=45x+20y
0,04x+0,12y<=40, 20x+5y<=9500, x+y<=550, x,y>=0
(b) Pela gráfica, ótimo em (x,y)=(450,100) com lucro $22250.
(c) Pelo simplex, solução ótima x=450, y=100, Z=22250.
(d) Por software, obtém-se a mesma solução: x=450, y=100, Z=22250.
(e) Aumentar a capacidade de armazenamento (preço sombra $11,6667) é a melhor opção.
Cálculo Numérico - Steven C. Chapra, Raymond P. Canale - Métodos Numéricos para Engenharia - 5ª Edição - Capítulo 15.Problemas - Ex. 15.1