Considere os seguintes conjuntos de vetores. (i) Mostre que o conjunto é linearmente independente; (ii) use o processo de Gram-Schmidt para encontrar um conjunto ortogonal de vetores; (iii) determine um conjunto ortonormal de vetores a partir dos vetores em (ii).
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
em
e pede:
(i) mostrar que é linearmente independente;
(ii) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortogonal;
(iii) normalizar esse conjunto para obter um conjunto ortonormal.
Vamos usar produto interno usual em e a fórmula de projeção do Gram–Schmidt.
(i) mostrar que
(ii) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortogonal;
(iii) normalizar esse conjunto para obter um conjunto ortonormal.
Vamos usar produto interno usual em
Passo 2
Para testar independência linear, note que
Como o determinante da matriz formada por
é não-nulo, esses vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Aplicando Gram–Schmidt:
Defina
Defina
Calcule
A projeção de
em
é
Logo
Verifica-se facilmente
, então
é ortogonal.
Passo 4
Para obter um conjunto ortonormal, normalizamos cada
:
Assim
Resposta
(i)
é linearmente independente pois
.
(ii) Um conjunto ortogonal é
(ii) Um conjunto ortogonal é
(iii) Um conjunto ortonormal é