Considere os seguintes conjuntos de vetores. (i) Mostre que o conjunto é linearmente independente; (ii) use o processo de Gram-Schmidt para encontrar um conjunto ortogonal de vetores; (iii) determine um conjunto ortonormal de vetores a partir dos vetores em (ii).
\mathbf{v}_{1}=(2,-1)^{t}, \mathbf{v}_{2}=(1,3)^{t}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{v}_1=(2,-1)^t e \mathbf{v}_2=(1,3)^t em \mathbb{R}^2 e pede:
(i) mostrar que \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é linearmente independente;
(ii) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortogonal;
(iii) normalizar esse conjunto para obter um conjunto ortonormal.
Vamos usar produto interno usual em \mathbb{R}^2 e a fórmula de projeção do Gram–Schmidt.

Passo 2

Para testar independência linear, note que
\det\bigl[\mathbf{v}_1\;\mathbf{v}_2\bigr] =\det\begin{pmatrix}2&1\\\ -1&3\end{pmatrix} =2\cdot3-(-1)\cdot1=7\neq0.
Como o determinante da matriz formada por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 é não-nulo, esses vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt:
Defina
\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1.
Calcule
\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{u}_1\rangle =1\cdot2+3\cdot(-1)=2-3=-1, \quad \langle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle =2^2+(-1)^2=5.
A projeção de \mathbf{v}_2 em \mathbf{u}_1 é
\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) =\frac{\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{u}_1\rangle}{\langle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\,\mathbf{u}_1 =-\frac{1}{5}\mathbf{u}_1.
Logo
\mathbf{u}_2 =\mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) =\mathbf{v}_2+\frac{1}{5}\mathbf{v}_1 =\Bigl(1+\tfrac{2}{5},\,3-\tfrac{1}{5}\Bigr)^t =\Bigl(\tfrac{7}{5},\,\tfrac{14}{5}\Bigr)^t.
Verifica-se facilmente \langle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle=0, então \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} é ortogonal.

Passo 4

Para obter um conjunto ortonormal, normalizamos cada \mathbf{u}_i:
\|\mathbf{u}_1\|=\sqrt{5}, \quad \|\mathbf{u}_2\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{7}{5}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{14}{5}\Bigr)^2} =\frac{7\sqrt5}{5}.
Assim
\mathbf{e}_1 =\frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr)^t, \quad \mathbf{e}_2 =\frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr)^t.

Resposta

(i) \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é linearmente independente pois \det[\mathbf{v}_1\;\mathbf{v}_2]=7\neq0.
(ii) Um conjunto ortogonal é
\mathbf{u}_1=(2,-1)^t, \quad \mathbf{u}_2=\Bigl(\tfrac{7}{5},\tfrac{14}{5}\Bigr)^t.
(iii) Um conjunto ortonormal é
\mathbf{e}_1=\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr)^t, \quad \mathbf{e}_2=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},\tfrac{2}{\sqrt5}\Bigr)^t.

Exercícios de Livros Relacionados