14.4 É dada a função
f(x, y)=2,25 x y+1,75 y-1,5 x^2-2 y^2
Determine e resolva um sistema de equações algébricas lineares que maximiza f(x). Observe que isso é feito igualando-se as derivadas parciais de f com relação a x e a y a zero.

Passo 1

Estamos procurando o ponto crítico de
f(x,y)=2,25,x,y+1,75,y-1,5,x^2-2,y^2
que maximiza f. Como f é um polinômio quadrático em x e y, basta igualar as derivadas parciais a zero para obter um sistema linear.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de f em relação a x:
partial fpartial x =2,25,y-2cdot1,5,x =2,25,y-3,x
Igualando a zero temos a primeira equação:
2,25,y-3,x=0

Passo 3

Calculemos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y =2,25,x+1,75-2cdot2,y =2,25,x+1,75-4,y
Igualando a zero vem a segunda equação:
2,25,x-4,y+1,75=0

Passo 4

Para resolver o sistema, multiplico ambas equações por 4 para eliminar decimais:
4,(2,25,y-3,x)=0 4,(2,25,x-4,y+1,75)=0 Longrightarrow 9,y-12,x=0 9,x-16,y+7=0
Da primeira equação 9,y=12,x, ou seja y=tfrac129x=tfrac43x. Substituindo na segunda:
9,x-16l(tfrac43xr)+7=0 Longrightarrow 9,x-tfrac643x+7=0 Longrightarrow -tfrac373x+7=0
-tfrac373x=-7 Longrightarrow x=2137
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y=43,2137=2837

Resposta

O sistema de equações algébricas lineares é
2,25,y-3,x=0, 2,25,x-4,y+1,75=0,
e sua solução que maximiza f é
(x,y)=l(tfrac2137,,tfrac2837r)

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