Encontre o vetor gradiente e a matriz hessiana para cada uma das seguintes funções:
f(x, y)=ln (x^2+3 x y+2 y^2)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente e a matriz hessiana da função
f(x,y)=lnl(x^2+3xy+2y^2r)
O conteúdo principal é derivação de funções de duas variáveis usando regra da cadeia e regra do quociente.

Passo 2

Defina
g(x,y)=x^2+3xy+2y^2
Então f(x,y)=lnl(g(x,y)r). Pela regra da cadeia, as derivadas parciais são
partial fpartial x =1g,partial gpartial x =2x+3yg, partial fpartial y =1g,partial gpartial y =3x+4yg

Passo 3

Agrupando, o gradiente é
nabla f(x,y) = 2x+3yx^2+3xy+2y^2[1em] 3x+4yx^2+3xy+2y^2 ]

Passo 4

Para a hessiana, aplicamos a regra do quociente em cada derivada parcial. Seja g=x^2+3xy+2y^2. Então
fxx =2,g-(2x+3y)cdot(2x+3y)g^2, fxy =3,g-(2x+3y)cdot(2x+4y)g^2, fyy =4,g-(3x+4y)cdot(3x+4y)g^2

Passo 5

Escrevendo a matriz hessiana Hf(x,y):
Hf(x,y) = fxx & fxy[0.5em] fxy & fyy = 2g-(2x+3y)^2g^2 &3g-(2x+3y)(2x+4y)g^2[1em] 3g-(2x+3y)(2x+4y)g^2 &4g-(3x+4y)^2g^2 ,
onumber
onde g=x^2+3xy+2y^2.]

Resposta

Gradiente:
nabla f(x,y) = 2x+3yx^2+3xy+2y^2[1em] 3x+4yx^2+3xy+2y^2
Hessiana:
Hf(x,y) = 2(x^2+3xy+2y^2)-(2x+3y)^2(x^2+3xy+2y^2)^2 &3(x^2+3xy+2y^2)-(2x+3y)(2x+4y)(x^2+3xy+2y^2)^2[1em] 3(x^2+3xy+2y^2)-(2x+3y)(2x+4y)(x^2+3xy+2y^2)^2 &4(x^2+3xy+2y^2)-(3x+4y)^2(x^2+3xy+2y^2)^2 ]

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