14.12 A função temperatura é
f(x, y)=2 x^3 y^2-7 x y+x^2+3 y
Desenvolva uma função unidimensional na direção do gradiente de temperatura, no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura
f(x,y)=2x^3y^2-7xy+x^2+3y
e pede para construir uma função unidimensional ao longo da direção do gradiente de f no ponto (1,1). Para isso vamos (a) calcular o gradiente nabla f, (b) avaliar em (1,1) e (c) definir
g(t)=fl((1,1)+t,nabla f(1,1)r),

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =6x^2y^2-7y+2x, partial fpartial y =4x^3y-7x+3

Passo 3

Avaliando em (1,1):
partial fpartial x(1,1)=6cdot1^2cdot1^2-7cdot1+2cdot1=6-7+2=1,
partial fpartial y(1,1)=4cdot1^3cdot1-7cdot1+3=4-7+3=0
Logo
nabla f(1,1)=(1,0)

Passo 4

A linha no sentido do gradiente parte de (1,1) e segue o vetor (1,0), ou seja
r(t)=(1,1)+t,(1,0)=(1+t,,1)
Definimos então
g(t)=f(1+t,,1)

Passo 5

Substituindo em f:
g(t) =2(1+t)^3cdot1^2-7(1+t)cdot1+(1+t)^2+3cdot1 =2(1+t)^3-7(1+t)+(1+t)^2+3
Expandindo e somando termos semelhantes resulta
g(t)=2t^3+7t^2+t-1

Resposta

g(t)=2t^3+7t^2+t-1

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