Encontre o vetor gradiente e a matriz hessiana para cada uma das seguintes funções:
f(x, y)=3 x y^2+2 e^x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o vetor gradiente e a matriz Hessiana da função
f(x,y)=3x y^2+2e^x y
Este problema envolve cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem, aplicação do conceito de gradiente e da definição da matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Para partial fpartial x:
partial fpartial x =partialpartial x(3x y^2)+partialpartial x(2e^xy) =3y^2+2y,e^xy
Para partial fpartial y:
partial fpartial y =partialpartial y(3x y^2)+partialpartial y(2e^xy) =6xy+2x,e^xy

Passo 3

Montamos o vetor gradiente usando as componentes calculadas:
nabla f(x,y) = partial fpartial x[6pt] partial fpartial y = 3y^2+2y,e^xy[4pt] 6xy+2x,e^xy ]

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas para a matriz Hessiana.
Para partial^2fpartial x^2:
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(3y^2+2y,e^xyr) =2y^2e^xy
Para partial^2fpartial x,partial y:
partial^2fpartial y,partial x =partialpartial yl(3y^2+2y,e^xyr) =6y+2e^xy+2xy,e^xy
Para partial^2fpartial y^2:
partial^2fpartial y^2 =partialpartial yl(6xy+2x,e^xyr) =6x+2x^2e^xy

Passo 5

Montamos a matriz Hessiana a partir dessas segundas derivadas:
nabla^2f(x,y) = partial^2fpartial x^2 & partial^2fpartial x,partial y[6pt] partial^2fpartial y,partial x & partial^2fpartial y^2 = 2y^2e^xy & 6y+2e^xy+2xy,e^xy[6pt] 6y+2e^xy+2xy,e^xy & 6x+2x^2e^xy ]

Resposta

nabla f(x,y)=3y^2+2y,e^xy[4pt]6xy+2x,e^xy
nabla^2f(x,y)=2y^2e^xy & 6y+2e^xy+2xy,e^xy[6pt]6y+2e^xy+2xy,e^xy & 6x+2x^2e^xy ]

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