14.11 Desenvolva uma equação unidimensional na direção do gradiente de pressão, no ponto
. A função que dá a pressão é
Passo 1
Temos a função de pressão
e queremos obter uma equação unidimensional ao longo da direção do gradiente em
. Para isso, vamos
- calcular o gradiente
, - avaliá-lo em
, - definir uma parametrização da reta que parte de
na direção de , - compor
com essa parametrização e simplificar.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo,
Passo 3
Avaliamo-las em
:
Portanto
Passo 4
Uma parametrização natural da reta que sai de
na direção de
é
Passo 5
Definimos a função unidimensional
e substituímos:
Expandindo e coletando termos, obtemos
Resposta
A equação unidimensional na direção do gradiente em
é
onde a reta está dada por
.