14.11 Desenvolva uma equação unidimensional na direção do gradiente de pressão, no ponto (4,2). A função que dá a pressão é
f(x, y)=6 x^2 y-9 y^2-8 x^2

Passo 1

Temos a função de pressão f(x,y)=6x^2y-9y^2-8x^2 e queremos obter uma equação unidimensional ao longo da direção do gradiente em (4,2). Para isso, vamos
  1. calcular o gradiente nabla f,
  2. avaliá-lo em (4,2),
  3. definir uma parametrização da reta que parte de (4,2) na direção de nabla f(4,2),
  4. compor f com essa parametrização e simplificar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =12xy-16x, partial fpartial y =6x^2-18y
Logo,
nabla f(x,y)=l(12xy-16x,;6x^2-18yr)

Passo 3

Avaliamo-las em (4,2):
partial fpartial x(4,2) =12cdot4cdot2-16cdot4=96-64=32,
partial fpartial y(4,2) =6cdot4^2-18cdot2=96-36=60
Portanto
nabla f(4,2)=(32,60)

Passo 4

Uma parametrização natural da reta que sai de (4,2) na direção de nabla f(4,2) é
x(t)=4+32,t, y(t)=2+60,t

Passo 5

Definimos a função unidimensional
F(t)=fl(x(t),y(t)r) =f(4+32t,;2+60t),
e substituímos:
F(t) =6(4+32t)^2(2+60t);-;9(2+60t)^2;-;8(4+32t)^2
Expandindo e coletando termos, obtemos
F(t)=28 ;+;4624,t;+;63856,t^2;+;368640,t^3

Resposta

A equação unidimensional na direção do gradiente em (4,2) é
boxedF(t)=28 + 4624,t + 63856,t^2 + 368640,t^3,
onde a reta está dada por x=4+32t,;y=2+60t.

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