Dada a seguinte função,
f(x, y)=-8 x+x^2+12 y+4 y^2-2 x y
use um pacote ou biblioteca de software para determinar o mínimo:
(a) Graficamente.
(b) Numericamente.
(c) Substitua o resultado de (b) de volta na função para determinar o mínimo f(x, y).
(d) Determine a hessiana e seu determinante e substitua o resultado do item (b) de volta nesse último para verificar que um mínimo foi de fato encontrado.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = -8x + x^2 + 12y + 4y^2 - 2xy
e pede:
(a) identificar graficamente o mínimo usando um pacote de software;
(b) encontrar numericamente o ponto crítico;
(c) calcular o valor mínimo f(x,y) nesse ponto;
(d) determinar a Hessiana, seu determinante e verificar que o ponto é mínimo.
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis. Vamos usar gráficos de contorno, solução do sistema nabla f=0 e análise da Hessiana.

Passo 2

Para achar o mínimo graficamente, plotamos as curvas de nível de f (por exemplo usando Matplotlib em Python):
,(x,y)mid f(x,y)=c
para vários valores de c. Observa-se que as curvas de nível são elipses centradas em um ponto, e o valor de c menor corresponde a aproximadamente
(x^ast,y^ast)approxl(3,333,,-0,667r)

Passo 3

Para achar numericamente o ponto crítico, calculamos o gradiente e igualamos a zero:
partial fpartial x = -8 + 2x - 2y = 0,
partial fpartial y = 12 + 8y - 2x = 0
Esse sistema linear
2x -2y = 8, -2x +8y = -12
é equivalente a
x - y = 4, x -4y = 6
Resolvendo, achamos
y = -tfrac23, x = 4 + y = tfrac103

Passo 4

Substituindo l(x^ast,y^astr) = l(tfrac103,-tfrac23r) em f, temos
fl(tfrac103,-tfrac23r) = -8cdottfrac103 + l(tfrac103r)^2 + 12cdotl(-tfrac23r) +4l(-tfrac23r)^2 -2cdottfrac103cdotl(-tfrac23r) = -tfrac523

Passo 5

A Hessiana de f é a matriz das segundas derivadas:
H = partial^2fpartial x^2 & partial^2fpartial x,partial y[6pt] partial^2fpartial y,partial x & partial^2fpartial y^2 = 2 & -2 -2 & 8
O determinante é
det H = 2cdot 8 - (-2)^2 = 16 - 4 = 12 > 0,
e partial^2fpartial x^2=2>0, logo H é definida positiva e o ponto crítico é de fato um mínimo.]

Resposta

(a) Pelo gráfico de contorno em pacote como Matplotlib, observa-se o mínimo aproximado em l(3,333,,-0,667r).
(b) Numericamente, o ponto crítico é
(x^ast,y^ast)=l(tfrac103,-tfrac23r)
(c) O valor mínimo é
fl(tfrac103,-tfrac23r) = -tfrac523
(d) A Hessiana é
H=2 & -2-2 & 8, det H=12>0,
com partial^2fpartial x^2=2>0, confirmando mínimo.

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