use um pacote ou biblioteca de software para determinar o mínimo:
(a) Graficamente.
(b) Numericamente.
(c) Substitua o resultado de (b) de volta na função para determinar o mínimo .
(d) Determine a hessiana e seu determinante e substitua o resultado do item (b) de volta nesse último para verificar que um mínimo foi de fato encontrado.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
(a) identificar graficamente o mínimo usando um pacote de software;
(b) encontrar numericamente o ponto crítico;
(c) calcular o valor mínimo nesse ponto;
(d) determinar a Hessiana, seu determinante e verificar que o ponto é mínimo.
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis. Vamos usar gráficos de contorno, solução do sistema e análise da Hessiana.
Passo 2
Para achar o mínimo graficamente, plotamos as curvas de nível de (por exemplo usando Matplotlib em Python):
para vários valores de . Observa-se que as curvas de nível são elipses centradas em um ponto, e o valor de menor corresponde a aproximadamente
Passo 3
Para achar numericamente o ponto crítico, calculamos o gradiente e igualamos a zero:
Esse sistema linear
é equivalente a
x - y = 4, x -4y = 6
Resolvendo, achamos
y = -tfrac23, x = 4 + y = tfrac103
Passo 4
Substituindo l(x^ast,y^astr) = l(tfrac103,-tfrac23r) em f, temos