14.8 Faça uma iteração do método do gradiente ótimo no declive máximo para localizar o mínimo de
f(x, y)=-8 x+x^2+12 y+4 y^2-2 x y
usando aproximações iniciais x=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede uma iteração do método do gradiente ótimo (declive máximo) para encontrar o mínimo da função
f(x,y) = -8x + x^2 + 12y + 4y^2 - 2xy
partindo de (x0,y0)=(0,0). Vamos precisar calcular o gradiente de f, definir a direção de descida d=-nabla f e achar o passo ótimo alpha por busca unidimensional exata.

Passo 2

Calculamos o gradiente geral de f:
partial fpartial x = -8 + 2x - 2y, partial fpartial y = 12 + 8y - 2x

Passo 3

No ponto (0,0) temos
nabla f(0,0) = l(-8 + 2cdot0 - 2cdot0,;12 + 8cdot0 - 2cdot0r) = (-8,;12)
Logo a direção de descida é
d = -,nabla f(0,0) = (8,,-12)

Passo 4

Definimos a função de linha
varphi(alpha) = fl(0 + 8alpha,;0 - 12alphar) = f(8alpha,,-12alpha)
Substituindo em f obtemos
varphi(alpha) = -8(8alpha)+(8alpha)^2+12(-12alpha)+4(-12alpha)^2-2(8alpha)(-12alpha) = 832,alpha^2 - 208,alpha

Passo 5

Para achar o passo ótimo alpha^*, derivamos varphi e igualamos a zero:
varphi'(alpha) = 2cdot832,alpha - 208 = 0 Longrightarrow alpha^* = 2082cdot832 = 13104 = 0,125

Passo 6

Aplicando alpha^* na atualização
(x1,y1) = (0,0) + 0,125,(8,-12) = (1,,-1,5)

Resposta

O ponto após uma iteração do método do gradiente ótimo é
(x1,y1) = (1,,-1,5)

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