14.2 Encontre a derivada direcional de
f(x, y)=x^2+2 y^2
em x=2 e y=2 na direção h=2 i+3 j.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+2y^2 no ponto (2,2) na direção dada pelo vetor h=2i+3j. O conteúdo usado será o gradiente de f e a fórmula
Duf(2,2)=nabla f(2,2)cdotu,
onde u é o vetor unitário na direção de h.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Por definição,
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)
Como partial fpartial x=2x e partial fpartial y=4y, segue que
nabla f(x,y)=(2x,,4y)

Passo 3

Avaliamos o gradiente no ponto (2,2):
nabla f(2,2)=(2cdot2,,4cdot2)=(4,,8)

Passo 4

Determinamos o vetor unitário u na direção de h=(2,3). Primeiro o módulo:
|h|=raiz2^2+3^2=raiz13
Então
u=h|h|=l(2raiz13,,3raiz13r)

Passo 5

Aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Duf(2,2)=nabla f(2,2)cdotu =(4,8)cdotl(2raiz13,3raiz13r) =4cdot2+8cdot3raiz13 =8+24raiz13 =32raiz13

Resposta

A derivada direcional de f em (2,2) na direção de 2i+3j é 32raiz13.

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