Determine se cada seqüência converge ou diverge, se a seqüência convergir, encontre seu limite.
n^2+(-1)^n 2 n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = n^2 + (-1)^n,2n
e decidir se ela converge ou diverge. Como estamos estudando o comportamento quando ntoinfty, vamos precisar comparar o termo dominante n^2 com o termo oscilante (-1)^n2n.

Passo 2

Separemos em dois casos: n par e n ímpar.
Se n é par, então (-1)^n=1 e
an = n^2 + 2n = n(n+2),
Como n(n+2)sim n^2 quando ntoinfty, esse ramo tende a +infty.
Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e
an = n^2 - 2n = n(n-2),,
e novamente n(n-2)sim n^2to+infty.

Passo 3

Ambas as subsequências (índices pares e ímpares) crescem sem limite e vão para +infty. Logo, o termo oscilante (-1)^n2n não é suficiente para cancelar o crescimento de n^2.

Resposta

A sequência diverge para +infty; não existe limite finito.

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