Determine se cada seqüência converge ou diverge, se a seqüência convergir, encontre seu limite.
n[1+(-1)^n]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an definida por
an = nl[1+(-1)^nr]
converge ou diverge e, em caso afirmativo, encontrar seu limite. Vamos analisar separadamente os termos para n par e ímpar.

Passo 2

Como (-1)^n = 1 quando n=2k e (-1)^n = -1 quando n=2k+1, para kinN temos
a2k = 2kl[1+1r] = 4k,
a2k+1 = (2k+1)l[1-1r] = 0

Passo 3

A subsequência ímpar é
a2k+1 = 0,
logo
limktoinfty a2k+1 = 0

Passo 4

A subsequência par é
a2k = 4k
Como ktoinfty,
limktoinfty a2k = +infty,
portanto essa subsequência diverge.

Passo 5

Para a sequência an convergir, todas as suas subsequências devem convergir para o mesmo limite. Aqui a parte par diverge, logo a sequência original diverge.

Resposta

A sequência diverge.

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