determine se cada série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Use qualquer teste ou teorema que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
sumk=1^infty(-1)^k 3^kk!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumk=1^infty(-1)^k,3^kk!
como divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Vamos usar conceitos de convergência absoluta e o teste da razão para justificar.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty|(-1)^k3^kk!| =sumk=1^infty3^kk!

Passo 3

Aplicando o teste da razão nessa série, definimos ak = 3^k/k! e calculamos
L = limktoinftyak+1ak =limktoinfty3^k+1/(k+1)!3^k/k! =limktoinfty3k+1 =0
Como L<1, a série sum ak converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que a série original converge absolutamente. Sendo absolutamente convergente, não há dúvida de que ela converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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