encontre a soma de cada série com um erro não maior que 5 times 10^-4 em valor absoluto e escreva sua resposta com três casas decimais.
sumk=1^infty (-1)^k+1k cdot 2^k

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumk=1^infty(-1)^k+1k,2^k
com erro absoluto não maior que 5times10^-4 e resposta com três casas decimais. O conteúdo é séries alternadas e o que vamos usar é o Teorema de Leibniz para estimar o resto.

Passo 2

Observamos que é uma série alternada cujos termos
ak = (-1)^k+1k,2^k
são monoticamente decrescentes em valor absoluto e tendem a zero. Pelo Teorema de Leibniz, o erro ao truncar após N termos satisfaz
|RN| <= |aN+1| = 1(N+1),2^N+1

Passo 3

Precisamos de N tal que
1(N+1),2^N+1<= 5times 10^-4
Testando valores inteiros:
para N=6 temos tfrac17cdot2^7=tfrac1896approx1,12times10^-3>5times10^-4,
para N=7 temos tfrac18cdot2^8=tfrac12048approx4,88times10^-4<5times10^-4.
Logo, basta truncar em N=7.

Passo 4

Calculamos a soma parcial até k=7:
S7 = sumk=1^7(-1)^k+1k,2^k = 11cdot2-12cdot4+13cdot8-14cdot16 +15cdot32-16cdot64+17cdot128 approx 0,405804

Passo 5

Como o erro l|R7r|<=4,88times10^-4 é menor que 5times10^-4, podemos usar
Sapprox S7approx 0,405804
e, com três casas decimais, obtemos 0,406.

Resposta

0,406

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