aplique o teste da razão para determinar se cada série converge absolutamente ou diverge.
sumk=1^infty(-1)^k 1+e^k2^k

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão e verificar se a série
sumk=1^infty(-1)^k,1+e^k2^k
converge absolutamente ou diverge.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão à convergência absoluta, definimos
bk = l|(-1)^k,tfrac1+e^k2^kr| = 1+e^k2^k

Passo 3

Calculamos a razão
bk+1bk = 1+e^,k+12^,k+11+e^k2^k = 1+e^,k+12,(1+e^k)
Para ktoinfty, temos e^k+1gg1 e e^kgg1, logo
limktoinftybk+1bk = limktoinftye^,k+12,e^k = e2

Passo 4

Como
e2>1,
o teste da razão diz que sum bk diverge. Portanto a série original não converge absolutamente. Além disso, como limktoinftybk=infty, nem mesmo converge condicionalmente.

Resposta

A série diverge (logo não converge absolutamente).

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