determine se cada série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Use qualquer teste ou teorema que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como divergente, absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Vamos usar dois testes: um para a convergência absoluta (comparação com a série harmônica) e o Teste da Série Alternante para verificar a convergência condicional.
Passo 2
Verificamos a convergência absoluta estudando
Para k grande temos k^3+10sim k^3, então
k^2k^3+10sim k^2k^3=1k
Aplicando o Teste da Comparação Limite com a série harmônica sum 1/k, temos
limktoinftytfrack^2k^3+10tfrac1k =limktoinftyk^3k^3+10=1(finito e não nulo), ã
portanto sum k^2/(k^3+10) diverge. Logo a série dada não converge absolutamente.
Passo 3
Para a convergência condicional, aplicamos o Teste da Série Alternante a
sumk=1^infty(-1)^k+1bk, bk=k^2k^3+10
Precisamos checar dois pontos: 1. limktoinftybk=0. 2. bk é (eventualmente) monótona decrescente.
Temos f'(x)<0 sempre que x^3>20, i.e.\ para x>raiz[3]20approx2,7. Assim bk=f(k) é decrescente para todo k>=3. Isso basta para usar o Teste da Série Alternante, que garante convergência.
Passo 4
Como bkto0 e bk é decrescente a partir de k=3, a série alternante converge. Mas vimos no Passo 2 que não há convergência absoluta. Portanto a série é condicionalmente convergente.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 13.Conjunto de Problemas 5 - Ex. 36