determine se cada série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Use qualquer teste ou teorema que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2k^3+10

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2k^3+10
como divergente, absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Vamos usar dois testes: um para a convergência absoluta (comparação com a série harmônica) e o Teste da Série Alternante para verificar a convergência condicional.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta estudando
sumk=1^infty |(-1)^k+1 k^2k^3+10| = sumk=1^infty k^2k^3+10
Para k grande temos k^3+10sim k^3, então
k^2k^3+10sim k^2k^3=1k
Aplicando o Teste da Comparação Limite com a série harmônica sum 1/k, temos
limktoinftytfrack^2k^3+10tfrac1k =limktoinftyk^3k^3+10=1(finito e não nulo), ã
portanto sum k^2/(k^3+10) diverge. Logo a série dada não converge absolutamente.

Passo 3

Para a convergência condicional, aplicamos o Teste da Série Alternante a
sumk=1^infty(-1)^k+1bk, bk=k^2k^3+10
Precisamos checar dois pontos:
1. limktoinftybk=0.
2. bk é (eventualmente) monótona decrescente.
Primeiro,
limktoinftybk =limktoinftyk^2k^3+10 =0
Depois, considere a função contínua
f(x)=x^2x^3+10
Seu derivada é
f'(x) =2x(x^3+10)-x^2cdot 3x^2(x^3+10)^2 =-x^4+20x(x^3+10)^2 =x(-x^3+20)(x^3+10)^2
Temos f'(x)<0 sempre que x^3>20, i.e.\ para x>raiz[3]20approx2,7. Assim bk=f(k) é decrescente para todo k>=3. Isso basta para usar o Teste da Série Alternante, que garante convergência.

Passo 4

Como bkto0 e bk é decrescente a partir de k=3, a série alternante converge. Mas vimos no Passo 2 que não há convergência absoluta. Portanto a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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