6.2 Determine a maior raiz real de
(a) Graficamente.
(b) Pelo método da iteração de ponto fixo (três iterações,
). Observação: certifique-se de desenvolver uma solução que convirja para a raiz.
(c) Pelo método de Newton-Raphson (três iterações,
).
(d) Pelo método da secante (três iterações,
).
(e) Pelo método da secante modificado (três iterações,
,
.
Calcule os erros relativos percentuais aproximados para suas soluções.
(a) Graficamente.
(b) Pelo método da iteração de ponto fixo (três iterações,
(c) Pelo método de Newton-Raphson (três iterações,
(d) Pelo método da secante (três iterações,
(e) Pelo método da secante modificado (três iterações,
Calcule os erros relativos percentuais aproximados para suas soluções.
Passo 1
O enunciado pede a maior raiz real de
usando cinco abordagens: (a) gráfico, (b) iteração de ponto fixo com três iterações e
, (c) Newton–Raphson com três iterações e
, (d) secante com três iterações e
, (e) secante modificada com três iterações,
. Além disso, calcular o erro relativo percentual aproximado de cada método em relação ao valor exato aproximado
.
Passo 2
Para achar graficamente a maior raiz, avaliamos
em alguns pontos:
Como
e
, a raiz está em
. Pela interpolação linear aproximamos
Passo 3
Para ponto fixo reescrevemos
como
cuja derivada em torno de
é menor que 1 em módulo, garantindo convergência. Com
:
Passo 4
No método de Newton–Raphson usamos
com
:
Passo 5
No método da secante vale
com
,
,
:
Passo 6
No método da secante modificada usamos
com
,
:
Passo 7
O valor de referência é
. Os erros relativos percentuais são
para ponto gráfico
para ponto gráfico
para iteração de ponto fixo
para Newton–Raphson
para secante
para secante modificada
Resposta
Maior raiz aproximada
.
(a) Gráfico: (erro ~0,31 %)
(b) Ponto fixo: (erro ~4,64 %)
(c) Newton–Raphson: (erro ~7,17 %)
(d) Secante: (erro ~2,06 %)
(e) Secante modificada: (erro ~26,4 %)
(a) Gráfico:
(b) Ponto fixo:
(c) Newton–Raphson:
(d) Secante:
(e) Secante modificada: