6.2 Determine a maior raiz real de
f(x)=2 x^3-11,7 x^2+17,7 x-5
(a) Graficamente.
(b) Pelo método da iteração de ponto fixo (três iterações, x0=3 ). Observação: certifique-se de desenvolver uma solução que convirja para a raiz.
(c) Pelo método de Newton-Raphson (três iterações, x0=3 ).
(d) Pelo método da secante (três iterações, x-1=3, x0=4 ).
(e) Pelo método da secante modificado (três iterações, x0=3, de<a=0,01).
Calcule os erros relativos percentuais aproximados para suas soluções.

Passo 1

O enunciado pede a maior raiz real de
f(x)=2x^3-11,7x^2+17,7x-5
usando cinco abordagens: (a) gráfico, (b) iteração de ponto fixo com três iterações e x0=3, (c) Newton–Raphson com três iterações e x0=3, (d) secante com três iterações e x-1=3,;x0=4, (e) secante modificada com três iterações, x0=3,;de<a=0,01. Além disso, calcular o erro relativo percentual aproximado de cada método em relação ao valor exato aproximado alphaapprox3,571.

Passo 2

Para achar graficamente a maior raiz, avaliamos f(x) em alguns pontos:
f(3)=54-105,3+53,1-5=-3,2, f(3,5)=85,75-143,325+61,95-5=-0,625,
f(3,6)=93,312-151,632+63,72-5=0,400
Como f(3,5)<0 e f(3,6)>0, a raiz está em (3,5,3,6). Pela interpolação linear aproximamos
xgrafapprox3,56

Passo 3

Para ponto fixo reescrevemos como
cuja derivada em torno de é menor que 1 em módulo, garantindo convergência. Com :

Passo 4

No método de Newton–Raphson usamos
xn+1=xn-f(xn)f'(xn), f'(x)=6x^2-23,4x+17,7,
com x0=3:
x1=3--3,21,5approx5,1333,
x2=5,1333-47,8955,68approx4,2731,
x3=4,2731-12,1427,22approx3,8272

Passo 5

No método da secante vale
xn+1=xn-f(xn)xn-xn-1f(xn)-f(xn-1),
com x-1=3,;x0=4, f(3)=-3,2, f(4)=6,6:
x1=4-6,619,8approx3,3270,
x2=3,3270-(-1,89)-0,6730-1,89-6,6approx3,4766,
x3=3,4766-(-0,997)0,1496-0,997-(-1,89)approx3,6445

Passo 6

No método da secante modificada usamos
xn+1=xn-de<a,xn,f(xn)f(xn+de<a,xn)-f(xn),
com de<a=0,01, x0=3:
f(3)=-3,2, f(3,03)approx-3,162, x1=3+0,0960,038approx5,526,
x2=5,526-0,01cdot5,526cdot72,8677,20-72,86approx4,599,
x3=4,599-0,01cdot4,599cdot24,4224,99-24,42approx2,630

Passo 7

O valor de referência é alphaapprox3,571. Os erros relativos percentuais são
para ponto gráfico
3,56-3,5713,571times100%approx0,31%
para iteração de ponto fixo
3,4069-3,5713,571times100%approx4,64%
para Newton–Raphson
3,8272-3,5713,571times100%approx7,17%
para secante
3,6445-3,5713,571times100%approx2,06%
para secante modificada
2,630-3,5713,571times100%approx26,4%

Resposta

Maior raiz aproximada alphaapprox3,571.
(a) Gráfico: 3,56 (erro ~0,31 %)
(b) Ponto fixo: 3,4069 (erro ~4,64 %)
(c) Newton–Raphson: 3,8272 (erro ~7,17 %)
(d) Secante: 3,6445 (erro ~2,06 %)
(e) Secante modificada: 2,630 (erro ~26,4 %)

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